Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49102 / 81212
↖ ↑ ↗
← S 39.495563°
W 45.137329°		 ← 235.69 m → S 39.495563°
W 45.134582°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
S 39.497683°
W 45.137329°		 ← 235.68 m →
55 542 m²		 S 39.497683°
W 45.134582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374622344970703 y=0.619602203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374622344970703 × 217)
    floor (0.374622344970703 × 131072)
    floor (49102.5)     		tx = 49102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619602203369141 × 217)
    floor (0.619602203369141 × 131072)
    floor (81212.5)     		ty = 81212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49102 / 81212 ti = "17/49102/81212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49102/81212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49102 ÷ 217
    49102 ÷ 131072     		x = 0.374618530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81212 ÷ 217
    81212 ÷ 131072     		y = 0.619598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374618530273438 × 2 - 1) × π
    -0.250762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78779501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.23919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.751458838444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78779501} λ = -0.78779501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751458838444))-π/2
    2×atan(0.471677948657396)-π/2
    2×0.440734353119528-π/2
    0.881468706239057-1.57079632675     		φ = -0.68932762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78779501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.137329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68932762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.495563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49102 KachelY 81212 -0.78779501 -0.68932762 -45.137329 -39.495563
    Oben rechts KachelX + 1 49103 KachelY 81212 -0.78774707 -0.68932762 -45.134582 -39.495563
    Unten links KachelX 49102 KachelY + 1 81213 -0.78779501 -0.68936461 -45.137329 -39.497683
    Unten rechts KachelX + 1 49103 KachelY + 1 81213 -0.78774707 -0.68936461 -45.134582 -39.497683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68932762--0.68936461) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dl = 235.663290000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68932762--0.68936461) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dr = 235.663290000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78779501--0.78774707) × cos(-0.68932762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771673835497265 × 6371000     		do = 235.689052245236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78779501--0.78774707) × cos(-0.68936461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771650308646215 × 6371000     		du = 235.681866539344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68932762)-sin(-0.68936461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771673835497265-0.771650308646215)×R²
    abs(-0.78774707--0.78779501)×2.35268510503372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35268510503372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35268510503372e-05×40589641000000     		ar = 55542.410771765m²