Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49101 / 81838
↖ ↑ ↗
← S 40.809652°
W 45.140076°		 ← 231.17 m → S 40.809652°
W 45.137329°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
S 40.811730°
W 45.140076°		 ← 231.16 m →
53 432 m²		 S 40.811730°
W 45.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374614715576172 y=0.624378204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374614715576172 × 217)
    floor (0.374614715576172 × 131072)
    floor (49101.5)     		tx = 49101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624378204345703 × 217)
    floor (0.624378204345703 × 131072)
    floor (81838.5)     		ty = 81838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49101 / 81838 ti = "17/49101/81838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49101/81838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49101 ÷ 217
    49101 ÷ 131072     		x = 0.374610900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81838 ÷ 217
    81838 ÷ 131072     		y = 0.624374389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374610900878906 × 2 - 1) × π
    -0.250778198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78784295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.248748779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781467337606155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78784295} λ = -0.78784295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781467337606155))-π/2
    2×atan(0.45773386817699)-π/2
    2×0.429266769311067-π/2
    0.858533538622133-1.57079632675     		φ = -0.71226279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78784295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.140076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71226279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.809652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49101 KachelY 81838 -0.78784295 -0.71226279 -45.140076 -40.809652
    Oben rechts KachelX + 1 49102 KachelY 81838 -0.78779501 -0.71226279 -45.137329 -40.809652
    Unten links KachelX 49101 KachelY + 1 81839 -0.78784295 -0.71229907 -45.140076 -40.811730
    Unten rechts KachelX + 1 49102 KachelY + 1 81839 -0.78779501 -0.71229907 -45.137329 -40.811730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71226279--0.71229907) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71226279--0.71229907) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78784295--0.78779501) × cos(-0.71226279) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.75688497282201 × 6371000     		do = 231.172152919426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78784295--0.78779501) × cos(-0.71229907) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.756861261598302 × 6371000     		du = 231.164910901379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71226279)-sin(-0.71229907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75688497282201-0.756861261598302)×R²
    abs(-0.78779501--0.78784295)×2.37112237080339e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37112237080339e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37112237080339e-05×40589641000000     		ar = 53432.266731312m²