Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49101 / 81219
↖ ↑ ↗
← S 39.510398°
W 45.140076°		 ← 235.64 m → S 39.510398°
W 45.137329°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
S 39.512517°
W 45.140076°		 ← 235.63 m →
55 531 m²		 S 39.512517°
W 45.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374614715576172 y=0.619655609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374614715576172 × 217)
    floor (0.374614715576172 × 131072)
    floor (49101.5)     		tx = 49101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619655609130859 × 217)
    floor (0.619655609130859 × 131072)
    floor (81219.5)     		ty = 81219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49101 / 81219 ti = "17/49101/81219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49101/81219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49101 ÷ 217
    49101 ÷ 131072     		x = 0.374610900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81219 ÷ 217
    81219 ÷ 131072     		y = 0.619651794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374610900878906 × 2 - 1) × π
    -0.250778198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78784295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619651794433594 × 2 - 1) × π
    -0.239303588867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.751794396741341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78784295} λ = -0.78784295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751794396741341))-π/2
    2×atan(0.471519699760401)-π/2
    2×0.44060489615679-π/2
    0.88120979231358-1.57079632675     		φ = -0.68958653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78784295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.140076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68958653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.510398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49101 KachelY 81219 -0.78784295 -0.68958653 -45.140076 -39.510398
    Oben rechts KachelX + 1 49102 KachelY 81219 -0.78779501 -0.68958653 -45.137329 -39.510398
    Unten links KachelX 49101 KachelY + 1 81220 -0.78784295 -0.68962352 -45.140076 -39.512517
    Unten rechts KachelX + 1 49102 KachelY + 1 81220 -0.78779501 -0.68962352 -45.137329 -39.512517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68958653--0.68962352) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dl = 235.663290000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68958653--0.68962352) × R
    3.69900000000145e-05 × 6371000     		dr = 235.663290000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78784295--0.78779501) × cos(-0.68958653) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771509138093219 × 6371000     		do = 235.638749419275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78784295--0.78779501) × cos(-0.68962352) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.771485603852687 × 6371000     		du = 235.631561456445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68958653)-sin(-0.68962352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771509138093219-0.771485603852687)×R²
    abs(-0.78779501--0.78784295)×2.35342405318084e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35342405318084e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35342405318084e-05×40589641000000     		ar = 55530.5559763145m²