Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49100 / 81833
↖ ↑ ↗
← S 40.799257°
W 45.142822°		 ← 231.16 m → S 40.799257°
W 45.140076°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
S 40.801336°
W 45.142822°		 ← 231.15 m →
53 444 m²		 S 40.801336°
W 45.140076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374607086181641 y=0.624340057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374607086181641 × 217)
    floor (0.374607086181641 × 131072)
    floor (49100.5)     		tx = 49100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624340057373047 × 217)
    floor (0.624340057373047 × 131072)
    floor (81833.5)     		ty = 81833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49100 / 81833 ti = "17/49100/81833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49100/81833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49100 ÷ 217
    49100 ÷ 131072     		x = 0.374603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81833 ÷ 217
    81833 ÷ 131072     		y = 0.624336242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.25079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78789088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624336242675781 × 2 - 1) × π
    -0.248672485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.781227653108055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78789088} λ = -0.78789088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781227653108055))-π/2
    2×atan(0.457843593038597)-π/2
    2×0.429357483212897-π/2
    0.858714966425795-1.57079632675     		φ = -0.71208136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78789088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71208136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.799257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49100 KachelY 81833 -0.78789088 -0.71208136 -45.142822 -40.799257
    Oben rechts KachelX + 1 49101 KachelY 81833 -0.78784295 -0.71208136 -45.140076 -40.799257
    Unten links KachelX 49100 KachelY + 1 81834 -0.78789088 -0.71211765 -45.142822 -40.801336
    Unten rechts KachelX + 1 49101 KachelY + 1 81834 -0.78784295 -0.71211765 -45.140076 -40.801336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71208136--0.71211765) × R
    3.62900000000499e-05 × 6371000     		dl = 231.203590000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71208136--0.71211765) × R
    3.62900000000499e-05 × 6371000     		dr = 231.203590000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78789088--0.78784295) × cos(-0.71208136) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.757003533598633 × 6371000     		do = 231.160135736458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78789088--0.78784295) × cos(-0.71211765) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.756979820822884 × 6371000     		du = 231.152894755118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71208136)-sin(-0.71211765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757003533598633-0.756979820822884)×R²
    abs(-0.78784295--0.78789088)×2.37127757491962e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37127757491962e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37127757491962e-05×40589641000000     		ar = 53444.2161825518m²