Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49098 / 50636
↖ ↑ ↗
← S 69.557553°
E 89.703369°		 ← 213.35 m → S 69.557553°
E 89.708863°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 69.559471°
E 89.703369°		 ← 213.33 m →
45 506 m²		 S 69.559471°
E 89.708863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749183654785156 y=0.772651672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749183654785156 × 216)
    floor (0.749183654785156 × 65536)
    floor (49098.5)     		tx = 49098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772651672363281 × 216)
    floor (0.772651672363281 × 65536)
    floor (50636.5)     		ty = 50636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49098 / 50636 ti = "16/49098/50636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49098/50636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49098 ÷ 216
    49098 ÷ 65536     		x = 0.749176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50636 ÷ 216
    50636 ÷ 65536     		y = 0.77264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749176025390625 × 2 - 1) × π
    0.49835205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56561914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.5452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71307304482233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56561914} λ = 1.56561914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71307304482233))-π/2
    2×atan(0.180310837067954)-π/2
    2×0.178394003916722-π/2
    0.356788007833444-1.57079632675     		φ = -1.21400832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56561914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.703369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21400832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.557553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49098 KachelY 50636 1.56561914 -1.21400832 89.703369 -69.557553
    Oben rechts KachelX + 1 49099 KachelY 50636 1.56571502 -1.21400832 89.708863 -69.557553
    Unten links KachelX 49098 KachelY + 1 50637 1.56561914 -1.21404180 89.703369 -69.559471
    Unten rechts KachelX + 1 49099 KachelY + 1 50637 1.56571502 -1.21404180 89.708863 -69.559471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21400832--1.21404180) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21400832--1.21404180) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56561914-1.56571502) × cos(-1.21400832) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.349266327018167 × 6371000     		do = 213.349852773566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56561914-1.56571502) × cos(-1.21404180) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.349234955275765 × 6371000     		du = 213.330689298289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21400832)-sin(-1.21404180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349266327018167-0.349234955275765)×R²
    abs(1.56571502-1.56561914)×3.13717424017534e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.13717424017534e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.13717424017534e-05×40589641000000     		ar = 45505.7102234706m²