Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49097 / 81834
↖ ↑ ↗
← S 40.801336°
W 45.151062°		 ← 231.15 m → S 40.801336°
W 45.148316°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
S 40.803415°
W 45.151062°		 ← 231.15 m →
53 428 m²		 S 40.803415°
W 45.148316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374584197998047 y=0.624347686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374584197998047 × 217)
    floor (0.374584197998047 × 131072)
    floor (49097.5)     		tx = 49097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624347686767578 × 217)
    floor (0.624347686767578 × 131072)
    floor (81834.5)     		ty = 81834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49097 / 81834 ti = "17/49097/81834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49097/81834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49097 ÷ 217
    49097 ÷ 131072     		x = 0.374580383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81834 ÷ 217
    81834 ÷ 131072     		y = 0.624343872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374580383300781 × 2 - 1) × π
    -0.250839233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78803469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.248687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.781275590007675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78803469} λ = -0.78803469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781275590007675))-π/2
    2×atan(0.457821645962277)-π/2
    2×0.429339339295864-π/2
    0.858678678591728-1.57079632675     		φ = -0.71211765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78803469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.151062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71211765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.801336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49097 KachelY 81834 -0.78803469 -0.71211765 -45.151062 -40.801336
    Oben rechts KachelX + 1 49098 KachelY 81834 -0.78798676 -0.71211765 -45.148316 -40.801336
    Unten links KachelX 49097 KachelY + 1 81835 -0.78803469 -0.71215393 -45.151062 -40.803415
    Unten rechts KachelX + 1 49098 KachelY + 1 81835 -0.78798676 -0.71215393 -45.148316 -40.803415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71211765--0.71215393) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71211765--0.71215393) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78803469--0.78798676) × cos(-0.71211765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756979820822884 × 6371000     		do = 231.152894755654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78803469--0.78798676) × cos(-0.71215393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756956113584877 × 6371000     		du = 231.14565546533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71211765)-sin(-0.71215393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756979820822884-0.756956113584877)×R²
    abs(-0.78798676--0.78803469)×2.37072380072645e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37072380072645e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37072380072645e-05×40589641000000     		ar = 53427.8157169503m²