Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49095 / 81843
↖ ↑ ↗
← S 40.820045°
W 45.156555°		 ← 231.14 m → S 40.820045°
W 45.153809°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
S 40.822123°
W 45.156555°		 ← 231.13 m →
53 409 m²		 S 40.822123°
W 45.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374568939208984 y=0.624416351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374568939208984 × 217)
    floor (0.374568939208984 × 131072)
    floor (49095.5)     		tx = 49095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624416351318359 × 217)
    floor (0.624416351318359 × 131072)
    floor (81843.5)     		ty = 81843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49095 / 81843 ti = "17/49095/81843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49095/81843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49095 ÷ 217
    49095 ÷ 131072     		x = 0.374565124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81843 ÷ 217
    81843 ÷ 131072     		y = 0.624412536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374565124511719 × 2 - 1) × π
    -0.250869750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78813057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624412536621094 × 2 - 1) × π
    -0.248825073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.781707022104256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78813057} λ = -0.78813057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781707022104256))-π/2
    2×atan(0.457624169611581)-π/2
    2×0.429176069618034-π/2
    0.858352139236068-1.57079632675     		φ = -0.71244419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78813057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.156555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71244419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.820045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49095 KachelY 81843 -0.78813057 -0.71244419 -45.156555 -40.820045
    Oben rechts KachelX + 1 49096 KachelY 81843 -0.78808263 -0.71244419 -45.153809 -40.820045
    Unten links KachelX 49095 KachelY + 1 81844 -0.78813057 -0.71248046 -45.156555 -40.822123
    Unten rechts KachelX + 1 49096 KachelY + 1 81844 -0.78808263 -0.71248046 -45.153809 -40.822123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71244419--0.71248046) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dl = 231.076169999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71244419--0.71248046) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dr = 231.076169999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78813057--0.78808263) × cos(-0.71244419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756766406741683 × 6371000     		do = 231.135939786068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78813057--0.78808263) × cos(-0.71248046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756742697074367 × 6371000     		du = 231.128698243383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71244419)-sin(-0.71248046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756766406741683-0.756742697074367)×R²
    abs(-0.78808263--0.78813057)×2.37096673165738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37096673165738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37096673165738e-05×40589641000000     		ar = 53409.1710468544m²