Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49090 / 81437
↖ ↑ ↗
← S 39.970805°
W 45.170288°		 ← 234.07 m → S 39.970805°
W 45.167541°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 39.972911°
W 45.170288°		 ← 234.06 m →
54 788 m²		 S 39.972911°
W 45.167541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374530792236328 y=0.621318817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374530792236328 × 217)
    floor (0.374530792236328 × 131072)
    floor (49090.5)     		tx = 49090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621318817138672 × 217)
    floor (0.621318817138672 × 131072)
    floor (81437.5)     		ty = 81437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49090 / 81437 ti = "17/49090/81437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49090/81437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49090 ÷ 217
    49090 ÷ 131072     		x = 0.374526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81437 ÷ 217
    81437 ÷ 131072     		y = 0.621315002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.250946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78837025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621315002441406 × 2 - 1) × π
    -0.242630004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.762244640858513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78837025} λ = -0.78837025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762244640858513))-π/2
    2×atan(0.466617861106881)-π/2
    2×0.436587081505766-π/2
    0.873174163011532-1.57079632675     		φ = -0.69762216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78837025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69762216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.970805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49090 KachelY 81437 -0.78837025 -0.69762216 -45.170288 -39.970805
    Oben rechts KachelX + 1 49091 KachelY 81437 -0.78832231 -0.69762216 -45.167541 -39.970805
    Unten links KachelX 49090 KachelY + 1 81438 -0.78837025 -0.69765890 -45.170288 -39.972911
    Unten rechts KachelX + 1 49091 KachelY + 1 81438 -0.78832231 -0.69765890 -45.167541 -39.972911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69762216--0.69765890) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69762216--0.69765890) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78837025--0.78832231) × cos(-0.69762216) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766371870171461 × 6371000     		do = 234.069695562691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78837025--0.78832231) × cos(-0.69765890) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.766348267981274 × 6371000     		du = 234.062486846287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69762216)-sin(-0.69765890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766371870171461-0.766348267981274)×R²
    abs(-0.78832231--0.78837025)×2.36021901872663e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36021901872663e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36021901872663e-05×40589641000000     		ar = 54787.9763700637m²