Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4909 / 3853
↖ ↑ ↗
← N 10.617418°
E 35.727539°		 ← 4 802.83 m → N 10.617418°
E 35.771484°		 →
↑
4 803.16 m
↓
↑
4 803.16 m
↓
N 10.574222°
E 35.727539°		 ← 4 803.51 m →
23 070 409 m²		 N 10.574222°
E 35.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59930419921875 y=0.47039794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59930419921875 × 213)
    floor (0.59930419921875 × 8192)
    floor (4909.5)     		tx = 4909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47039794921875 × 213)
    floor (0.47039794921875 × 8192)
    floor (3853.5)     		ty = 3853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4909 / 3853 ti = "13/4909/3853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4909/3853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4909 ÷ 213
    4909 ÷ 8192     		x = 0.5992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3853 ÷ 213
    3853 ÷ 8192     		y = 0.4703369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5992431640625 × 2 - 1) × π
    0.198486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62356319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4703369140625 × 2 - 1) × π
    0.059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.186378665722778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62356319} λ = 0.62356319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.186378665722778))-π/2
    2×atan(1.20487842016397)-π/2
    2×0.878052615068064-π/2
    1.75610523013613-1.57079632675     		φ = 0.18530890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62356319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.727539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18530890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.617418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4909 KachelY 3853 0.62356319 0.18530890 35.727539 10.617418
    Oben rechts KachelX + 1 4910 KachelY 3853 0.62433018 0.18530890 35.771484 10.617418
    Unten links KachelX 4909 KachelY + 1 3854 0.62356319 0.18455499 35.727539 10.574222
    Unten rechts KachelX + 1 4910 KachelY + 1 3854 0.62433018 0.18455499 35.771484 10.574222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18530890-0.18455499) × R
    0.000753909999999997 × 6371000     		dl = 4803.16060999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18530890-0.18455499) × R
    0.000753909999999997 × 6371000     		dr = 4803.16060999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62356319-0.62433018) × cos(0.18530890) × R
    0.000766989999999912 × 0.982879382651428 × 6371000     		do = 4802.833508205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62356319-0.62433018) × cos(0.18455499) × R
    0.000766989999999912 × 0.983018011347067 × 6371000     		du = 4803.51091639604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18530890)-sin(0.18455499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982879382651428-0.983018011347067)×R²
    abs(0.62433018-0.62356319)×0.000138628695638632×R²
    0.000766989999999912×0.000138628695638632×6371000²
    0.000766989999999912×0.000138628695638632×40589641000000     		ar = 23070408.6658989m²