Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49089 / 81412
↖ ↑ ↗
← S 39.918163°
W 45.173035°		 ← 234.25 m → S 39.918163°
W 45.170288°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
S 39.920269°
W 45.173035°		 ← 234.24 m →
54 875 m²		 S 39.920269°
W 45.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374523162841797 y=0.621128082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374523162841797 × 217)
    floor (0.374523162841797 × 131072)
    floor (49089.5)     		tx = 49089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621128082275391 × 217)
    floor (0.621128082275391 × 131072)
    floor (81412.5)     		ty = 81412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49089 / 81412 ti = "17/49089/81412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49089/81412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49089 ÷ 217
    49089 ÷ 131072     		x = 0.374519348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81412 ÷ 217
    81412 ÷ 131072     		y = 0.621124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374519348144531 × 2 - 1) × π
    -0.250961303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78841819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.24224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.761046218368011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78841819} λ = -0.78841819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761046218368011))-π/2
    2×atan(0.467177401662126)-π/2
    2×0.437046476895486-π/2
    0.874092953790973-1.57079632675     		φ = -0.69670337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78841819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.173035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69670337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.918163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49089 KachelY 81412 -0.78841819 -0.69670337 -45.173035 -39.918163
    Oben rechts KachelX + 1 49090 KachelY 81412 -0.78837025 -0.69670337 -45.170288 -39.918163
    Unten links KachelX 49089 KachelY + 1 81413 -0.78841819 -0.69674014 -45.173035 -39.920269
    Unten rechts KachelX + 1 49090 KachelY + 1 81413 -0.78837025 -0.69674014 -45.170288 -39.920269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69670337--0.69674014) × R
    3.67699999999083e-05 × 6371000     		dl = 234.261669999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69670337--0.69674014) × R
    3.67699999999083e-05 × 6371000     		dr = 234.261669999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78841819--0.78837025) × cos(-0.69670337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766961774731557 × 6371000     		do = 234.249867598946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78841819--0.78837025) × cos(-0.69674014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766938179169214 × 6371000     		du = 234.242660906856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69670337)-sin(-0.69674014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766961774731557-0.766938179169214)×R²
    abs(-0.78837025--0.78841819)×2.3595562343437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3595562343437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3595562343437e-05×40589641000000     		ar = 54874.9210611893m²