Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49089 / 51905
↖ ↑ ↗
← S 71.857940°
E 89.653931°		 ← 190.18 m → S 71.857940°
E 89.659424°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
S 71.859650°
E 89.653931°		 ← 190.17 m →
36 166 m²		 S 71.859650°
E 89.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749046325683594 y=0.792015075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749046325683594 × 216)
    floor (0.749046325683594 × 65536)
    floor (49089.5)     		tx = 49089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792015075683594 × 216)
    floor (0.792015075683594 × 65536)
    floor (51905.5)     		ty = 51905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49089 / 51905 ti = "16/49089/51905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49089/51905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49089 ÷ 216
    49089 ÷ 65536     		x = 0.749038696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51905 ÷ 216
    51905 ÷ 65536     		y = 0.792007446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749038696289062 × 2 - 1) × π
    0.498077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56475628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.792007446289062 × 2 - 1) × π
    -0.584014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83473689605803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56475628} λ = 1.56475628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83473689605803))-π/2
    2×atan(0.159655502234627)-π/2
    2×0.158319345388401-π/2
    0.316638690776802-1.57079632675     		φ = -1.25415764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56475628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.653931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25415764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.857940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49089 KachelY 51905 1.56475628 -1.25415764 89.653931 -71.857940
    Oben rechts KachelX + 1 49090 KachelY 51905 1.56485215 -1.25415764 89.659424 -71.857940
    Unten links KachelX 49089 KachelY + 1 51906 1.56475628 -1.25418749 89.653931 -71.859650
    Unten rechts KachelX + 1 49090 KachelY + 1 51906 1.56485215 -1.25418749 89.659424 -71.859650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25415764--1.25418749) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25415764--1.25418749) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56475628-1.56485215) × cos(-1.25415764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.311374112026931 × 6371000     		do = 190.183499520655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56475628-1.56485215) × cos(-1.25418749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.311345745809015 × 6371000     		du = 190.166173781671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25415764)-sin(-1.25418749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311374112026931-0.311345745809015)×R²
    abs(1.56485215-1.56475628)×2.83662179167976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83662179167976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83662179167976e-05×40589641000000     		ar = 36166.3759489842m²