Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49088 / 50626
↖ ↑ ↗
← S 69.538358°
E 89.648437°		 ← 213.54 m → S 69.538358°
E 89.653931°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 69.540279°
E 89.648437°		 ← 213.52 m →
45 601 m²		 S 69.540279°
E 89.653931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749031066894531 y=0.772499084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749031066894531 × 216)
    floor (0.749031066894531 × 65536)
    floor (49088.5)     		tx = 49088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772499084472656 × 216)
    floor (0.772499084472656 × 65536)
    floor (50626.5)     		ty = 50626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49088 / 50626 ti = "16/49088/50626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49088/50626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49088 ÷ 216
    49088 ÷ 65536     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50626 ÷ 216
    50626 ÷ 65536     		y = 0.772491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.54498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71211430682993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71211430682993))-π/2
    2×atan(0.180483790813308)-π/2
    2×0.178561506590234-π/2
    0.357123013180469-1.57079632675     		φ = -1.21367331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21367331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.538358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49088 KachelY 50626 1.56466040 -1.21367331 89.648437 -69.538358
    Oben rechts KachelX + 1 49089 KachelY 50626 1.56475628 -1.21367331 89.653931 -69.538358
    Unten links KachelX 49088 KachelY + 1 50627 1.56466040 -1.21370683 89.648437 -69.540279
    Unten rechts KachelX + 1 49089 KachelY + 1 50627 1.56475628 -1.21370683 89.653931 -69.540279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21367331--1.21370683) × R
    3.35200000001201e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21367331--1.21370683) × R
    3.35200000001201e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56475628) × cos(-1.21367331) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		do = 213.541594555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56475628) × cos(-1.21370683) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		du = 213.522410580938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21367331)-sin(-1.21370683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349580219654449-0.349548814354324)×R²
    abs(1.56475628-1.56466040)×3.14053001251868e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.14053001251868e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.14053001251868e-05×40589641000000     		ar = 45601.0232620899m²