Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49087 / 50496
↖ ↑ ↗
← S 69.287257°
E 89.642944°		 ← 216.03 m → S 69.287257°
E 89.648437°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 69.289200°
E 89.642944°		 ← 216.01 m →
46 668 m²		 S 69.289200°
E 89.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749015808105469 y=0.770515441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749015808105469 × 216)
    floor (0.749015808105469 × 65536)
    floor (49087.5)     		tx = 49087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770515441894531 × 216)
    floor (0.770515441894531 × 65536)
    floor (50496.5)     		ty = 50496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49087 / 50496 ti = "16/49087/50496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49087/50496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49087 ÷ 216
    49087 ÷ 65536     		x = 0.749008178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50496 ÷ 216
    50496 ÷ 65536     		y = 0.7705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749008178710938 × 2 - 1) × π
    0.498016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56456453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56456453} λ = 1.56456453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69965071292871))-π/2
    2×atan(0.18274734419095)-π/2
    2×0.180752781664976-π/2
    0.361505563329953-1.57079632675     		φ = -1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56456453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.642944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49087 KachelY 50496 1.56456453 -1.20929076 89.642944 -69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 49088 KachelY 50496 1.56466040 -1.20929076 89.648437 -69.287257
    Unten links KachelX 49087 KachelY + 1 50497 1.56456453 -1.20932467 89.642944 -69.289200
    Unten rechts KachelX + 1 49088 KachelY + 1 50497 1.56466040 -1.20932467 89.648437 -69.289200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20929076--1.20932467) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20929076--1.20932467) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56456453-1.56466040) × cos(-1.20929076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 216.025182856981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56456453-1.56466040) × cos(-1.20932467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353651170224748 × 6371000     		du = 216.005809619459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20929076)-sin(-1.20932467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.353651170224748)×R²
    abs(1.56466040-1.56456453)×3.17184437430007e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17184437430007e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17184437430007e-05×40589641000000     		ar = 46668.1195812472m²