Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49085 / 82397
↖ ↑ ↗
← S 41.961532°
W 45.184021°		 ← 227.11 m → S 41.961532°
W 45.181274°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.963575°
W 45.184021°		 ← 227.11 m →
51 582 m²		 S 41.963575°
W 45.181274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374492645263672 y=0.628643035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374492645263672 × 217)
    floor (0.374492645263672 × 131072)
    floor (49085.5)     		tx = 49085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628643035888672 × 217)
    floor (0.628643035888672 × 131072)
    floor (82397.5)     		ty = 82397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49085 / 82397 ti = "17/49085/82397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49085/82397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49085 ÷ 217
    49085 ÷ 131072     		x = 0.374488830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82397 ÷ 217
    82397 ÷ 131072     		y = 0.628639221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374488830566406 × 2 - 1) × π
    -0.251022338867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78860994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628639221191406 × 2 - 1) × π
    -0.257278442382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.808264064493767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78860994} λ = -0.78860994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808264064493767))-π/2
    2×atan(0.445630981807038)-π/2
    2×0.419214712985186-π/2
    0.838429425970373-1.57079632675     		φ = -0.73236690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78860994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.184021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73236690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.961532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49085 KachelY 82397 -0.78860994 -0.73236690 -45.184021 -41.961532
    Oben rechts KachelX + 1 49086 KachelY 82397 -0.78856200 -0.73236690 -45.181274 -41.961532
    Unten links KachelX 49085 KachelY + 1 82398 -0.78860994 -0.73240255 -45.184021 -41.963575
    Unten rechts KachelX + 1 49086 KachelY + 1 82398 -0.78856200 -0.73240255 -45.181274 -41.963575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73236690--0.73240255) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dl = 227.126149999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73236690--0.73240255) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dr = 227.126149999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78860994--0.78856200) × cos(-0.73236690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743593902766689 × 6371000     		do = 227.112718011855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78860994--0.78856200) × cos(-0.73240255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743570065580528 × 6371000     		du = 227.105437521632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73236690)-sin(-0.73240255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743593902766689-0.743570065580528)×R²
    abs(-0.78856200--0.78860994)×2.38371861608355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38371861608355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38371861608355e-05×40589641000000     		ar = 51582.4104686219m²