Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49084 / 81853
↖ ↑ ↗
← S 40.840827°
W 45.186767°		 ← 231.02 m → S 40.840827°
W 45.184021°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
S 40.842905°
W 45.186767°		 ← 231.01 m →
53 381 m²		 S 40.842905°
W 45.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374485015869141 y=0.624492645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374485015869141 × 217)
    floor (0.374485015869141 × 131072)
    floor (49084.5)     		tx = 49084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624492645263672 × 217)
    floor (0.624492645263672 × 131072)
    floor (81853.5)     		ty = 81853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49084 / 81853 ti = "17/49084/81853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49084/81853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49084 ÷ 217
    49084 ÷ 131072     		x = 0.374481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81853 ÷ 217
    81853 ÷ 131072     		y = 0.624488830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.25103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78865787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624488830566406 × 2 - 1) × π
    -0.248977661132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.782186391100456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78865787} λ = -0.78865787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782186391100456))-π/2
    2×atan(0.457404851344146)-π/2
    2×0.428994712861394-π/2
    0.857989425722789-1.57079632675     		φ = -0.71280690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78865787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.186767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71280690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.840827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49084 KachelY 81853 -0.78865787 -0.71280690 -45.186767 -40.840827
    Oben rechts KachelX + 1 49085 KachelY 81853 -0.78860994 -0.71280690 -45.184021 -40.840827
    Unten links KachelX 49084 KachelY + 1 81854 -0.78865787 -0.71284317 -45.186767 -40.842905
    Unten rechts KachelX + 1 49085 KachelY + 1 81854 -0.78860994 -0.71284317 -45.184021 -40.842905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71280690--0.71284317) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dl = 231.076169999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71280690--0.71284317) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dr = 231.076169999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78865787--0.78860994) × cos(-0.71280690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756529258734947 × 6371000     		do = 231.01531020184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78865787--0.78860994) × cos(-0.71284317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756505539113712 × 6371000     		du = 231.008067130149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71280690)-sin(-0.71284317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756529258734947-0.756505539113712)×R²
    abs(-0.78860994--0.78865787)×2.371962123493e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.371962123493e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.371962123493e-05×40589641000000     		ar = 53381.2962481281m²