Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49084 / 50508
↖ ↑ ↗
← S 69.310558°
E 89.626465°		 ← 215.79 m → S 69.310558°
E 89.631958°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
S 69.312499°
E 89.626465°		 ← 215.77 m →
46 563 m²		 S 69.312499°
E 89.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748970031738281 y=0.770698547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748970031738281 × 216)
    floor (0.748970031738281 × 65536)
    floor (49084.5)     		tx = 49084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770698547363281 × 216)
    floor (0.770698547363281 × 65536)
    floor (50508.5)     		ty = 50508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49084 / 50508 ti = "16/49084/50508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49084/50508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49084 ÷ 216
    49084 ÷ 65536     		x = 0.74896240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50508 ÷ 216
    50508 ÷ 65536     		y = 0.77069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74896240234375 × 2 - 1) × π
    0.4979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56427691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.5413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70080119851959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56427691} λ = 1.56427691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70080119851959))-π/2
    2×atan(0.182537216902072)-π/2
    2×0.180549437570268-π/2
    0.361098875140537-1.57079632675     		φ = -1.20969745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56427691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20969745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.310558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49084 KachelY 50508 1.56427691 -1.20969745 89.626465 -69.310558
    Oben rechts KachelX + 1 49085 KachelY 50508 1.56437278 -1.20969745 89.631958 -69.310558
    Unten links KachelX 49084 KachelY + 1 50509 1.56427691 -1.20973132 89.626465 -69.312499
    Unten rechts KachelX + 1 49085 KachelY + 1 50509 1.56437278 -1.20973132 89.631958 -69.312499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20969745--1.20973132) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20969745--1.20973132) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56427691-1.56437278) × cos(-1.20969745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353302455679201 × 6371000     		do = 215.792819039818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56427691-1.56437278) × cos(-1.20973132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353270769781555 × 6371000     		du = 215.773465681054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20969745)-sin(-1.20973132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353302455679201-0.353270769781555)×R²
    abs(1.56437278-1.56427691)×3.16858976465162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16858976465162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16858976465162e-05×40589641000000     		ar = 46562.931531805m²