Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49083 / 82363
↖ ↑ ↗
← S 41.892055°
W 45.189514°		 ← 227.36 m → S 41.892055°
W 45.186767°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
S 41.894099°
W 45.189514°		 ← 227.35 m →
51 682 m²		 S 41.894099°
W 45.186767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374477386474609 y=0.628383636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374477386474609 × 217)
    floor (0.374477386474609 × 131072)
    floor (49083.5)     		tx = 49083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628383636474609 × 217)
    floor (0.628383636474609 × 131072)
    floor (82363.5)     		ty = 82363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49083 / 82363 ti = "17/49083/82363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49083/82363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49083 ÷ 217
    49083 ÷ 131072     		x = 0.374473571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82363 ÷ 217
    82363 ÷ 131072     		y = 0.628379821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374473571777344 × 2 - 1) × π
    -0.251052856445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.78870581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628379821777344 × 2 - 1) × π
    -0.256759643554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.806634209906685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78870581} λ = -0.78870581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806634209906685))-π/2
    2×atan(0.446357887721437)-π/2
    2×0.419821018110161-π/2
    0.839642036220323-1.57079632675     		φ = -0.73115429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78870581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.189514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73115429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.892055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49083 KachelY 82363 -0.78870581 -0.73115429 -45.189514 -41.892055
    Oben rechts KachelX + 1 49084 KachelY 82363 -0.78865787 -0.73115429 -45.186767 -41.892055
    Unten links KachelX 49083 KachelY + 1 82364 -0.78870581 -0.73118997 -45.189514 -41.894099
    Unten rechts KachelX + 1 49084 KachelY + 1 82364 -0.78865787 -0.73118997 -45.186767 -41.894099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73115429--0.73118997) × R
    3.56799999999824e-05 × 6371000     		dl = 227.317279999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73115429--0.73118997) × R
    3.56799999999824e-05 × 6371000     		dr = 227.317279999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78870581--0.78865787) × cos(-0.73115429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744404145135125 × 6371000     		do = 227.360186886814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78870581--0.78865787) × cos(-0.73118997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744380320078517 × 6371000     		du = 227.352910101269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73115429)-sin(-0.73118997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744404145135125-0.744380320078517)×R²
    abs(-0.78865787--0.78870581)×2.38250566080289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38250566080289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38250566080289e-05×40589641000000     		ar = 51682.0721993248m²