Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49081 / 82377
↖ ↑ ↗
← S 41.920673°
W 45.195007°		 ← 227.21 m → S 41.920673°
W 45.192261°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
S 41.922716°
W 45.195007°		 ← 227.20 m →
51 634 m²		 S 41.922716°
W 45.192261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374462127685547 y=0.628490447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374462127685547 × 217)
    floor (0.374462127685547 × 131072)
    floor (49081.5)     		tx = 49081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628490447998047 × 217)
    floor (0.628490447998047 × 131072)
    floor (82377.5)     		ty = 82377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49081 / 82377 ti = "17/49081/82377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49081/82377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49081 ÷ 217
    49081 ÷ 131072     		x = 0.374458312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82377 ÷ 217
    82377 ÷ 131072     		y = 0.628486633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374458312988281 × 2 - 1) × π
    -0.251083374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78880168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628486633300781 × 2 - 1) × π
    -0.256973266601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.807305326501366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78880168} λ = -0.78880168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807305326501366))-π/2
    2×atan(0.446058430032573)-π/2
    2×0.419571283093539-π/2
    0.839142566187078-1.57079632675     		φ = -0.73165376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78880168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.195007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73165376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.920673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49081 KachelY 82377 -0.78880168 -0.73165376 -45.195007 -41.920673
    Oben rechts KachelX + 1 49082 KachelY 82377 -0.78875375 -0.73165376 -45.192261 -41.920673
    Unten links KachelX 49081 KachelY + 1 82378 -0.78880168 -0.73168943 -45.195007 -41.922716
    Unten rechts KachelX + 1 49082 KachelY + 1 82378 -0.78875375 -0.73168943 -45.192261 -41.922716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73165376--0.73168943) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dl = 227.253569999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73165376--0.73168943) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dr = 227.253569999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78880168--0.78875375) × cos(-0.73165376) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744070541523232 × 6371000     		do = 227.210891022346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78880168--0.78875375) × cos(-0.73168943) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744046709884992 × 6371000     		du = 227.203613744915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73165376)-sin(-0.73168943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744070541523232-0.744046709884992)×R²
    abs(-0.78875375--0.78880168)×2.38316382402681e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38316382402681e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38316382402681e-05×40589641000000     		ar = 51633.6592393241m²