Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49081 / 82360
↖ ↑ ↗
← S 41.885921°
W 45.195007°		 ← 227.33 m → S 41.885921°
W 45.192261°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.887966°
W 45.195007°		 ← 227.33 m →
51 691 m²		 S 41.887966°
W 45.192261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374462127685547 y=0.628360748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374462127685547 × 217)
    floor (0.374462127685547 × 131072)
    floor (49081.5)     		tx = 49081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628360748291016 × 217)
    floor (0.628360748291016 × 131072)
    floor (82360.5)     		ty = 82360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49081 / 82360 ti = "17/49081/82360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49081/82360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49081 ÷ 217
    49081 ÷ 131072     		x = 0.374458312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82360 ÷ 217
    82360 ÷ 131072     		y = 0.62835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374458312988281 × 2 - 1) × π
    -0.251083374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78880168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806490399207825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78880168} λ = -0.78880168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806490399207825))-π/2
    2×atan(0.446422083377113)-π/2
    2×0.419874547320278-π/2
    0.839749094640556-1.57079632675     		φ = -0.73104723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78880168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.195007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73104723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.885921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49081 KachelY 82360 -0.78880168 -0.73104723 -45.195007 -41.885921
    Oben rechts KachelX + 1 49082 KachelY 82360 -0.78875375 -0.73104723 -45.192261 -41.885921
    Unten links KachelX 49081 KachelY + 1 82361 -0.78880168 -0.73108292 -45.195007 -41.887966
    Unten rechts KachelX + 1 49082 KachelY + 1 82361 -0.78875375 -0.73108292 -45.192261 -41.887966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73104723--0.73108292) × R
    3.56899999999216e-05 × 6371000     		dl = 227.380989999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73104723--0.73108292) × R
    3.56899999999216e-05 × 6371000     		dr = 227.380989999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78880168--0.78875375) × cos(-0.73104723) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744475627971783 × 6371000     		do = 227.334589042601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78880168--0.78875375) × cos(-0.73108292) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744451799082054 × 6371000     		du = 227.327312604461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73104723)-sin(-0.73108292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744475627971783-0.744451799082054)×R²
    abs(-0.78875375--0.78880168)×2.38288897290717e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38288897290717e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38288897290717e-05×40589641000000     		ar = 51690.7366612838m²