Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49080 / 82392
↖ ↑ ↗
← S 41.951320°
W 45.197754°		 ← 227.15 m → S 41.951320°
W 45.195007°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.953363°
W 45.197754°		 ← 227.14 m →
51 591 m²		 S 41.953363°
W 45.195007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374454498291016 y=0.628604888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374454498291016 × 217)
    floor (0.374454498291016 × 131072)
    floor (49080.5)     		tx = 49080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628604888916016 × 217)
    floor (0.628604888916016 × 131072)
    floor (82392.5)     		ty = 82392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49080 / 82392 ti = "17/49080/82392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49080/82392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49080 ÷ 217
    49080 ÷ 131072     		x = 0.37445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82392 ÷ 217
    82392 ÷ 131072     		y = 0.62860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.2510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78884962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.808024379995667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78884962} λ = -0.78884962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808024379995667))-π/2
    2×atan(0.445737805446724)-π/2
    2×0.419303834091447-π/2
    0.838607668182893-1.57079632675     		φ = -0.73218866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78884962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73218866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.951320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49080 KachelY 82392 -0.78884962 -0.73218866 -45.197754 -41.951320
    Oben rechts KachelX + 1 49081 KachelY 82392 -0.78880168 -0.73218866 -45.195007 -41.951320
    Unten links KachelX 49080 KachelY + 1 82393 -0.78884962 -0.73222431 -45.197754 -41.953363
    Unten rechts KachelX + 1 49081 KachelY + 1 82393 -0.78880168 -0.73222431 -45.195007 -41.953363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73218866--0.73222431) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dl = 227.126149999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73218866--0.73222431) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dr = 227.126149999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78884962--0.78880168) × cos(-0.73218866) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743713067836144 × 6371000     		do = 227.149114091902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78884962--0.78880168) × cos(-0.73222431) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743689235375272 × 6371000     		du = 227.141835044904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73218866)-sin(-0.73222431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743713067836144-0.743689235375272)×R²
    abs(-0.78880168--0.78884962)×2.38324608720086e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38324608720086e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38324608720086e-05×40589641000000     		ar = 51590.6771339859m²