Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49075 / 50544
↖ ↑ ↗
← S 69.380313°
E 89.577026°		 ← 215.12 m → S 69.380313°
E 89.582520°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 69.382247°
E 89.577026°		 ← 215.10 m →
46 267 m²		 S 69.382247°
E 89.582520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748832702636719 y=0.771247863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748832702636719 × 216)
    floor (0.748832702636719 × 65536)
    floor (49075.5)     		tx = 49075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771247863769531 × 216)
    floor (0.771247863769531 × 65536)
    floor (50544.5)     		ty = 50544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49075 / 50544 ti = "16/49075/50544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49075/50544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49075 ÷ 216
    49075 ÷ 65536     		x = 0.748825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50544 ÷ 216
    50544 ÷ 65536     		y = 0.771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748825073242188 × 2 - 1) × π
    0.497650146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56341404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70425265529224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56341404} λ = 1.56341404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70425265529224))-π/2
    2×atan(0.181908283580972)-π/2
    2×0.179940716915556-π/2
    0.359881433831112-1.57079632675     		φ = -1.21091489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56341404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.577026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21091489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.380313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49075 KachelY 50544 1.56341404 -1.21091489 89.577026 -69.380313
    Oben rechts KachelX + 1 49076 KachelY 50544 1.56350992 -1.21091489 89.582520 -69.380313
    Unten links KachelX 49075 KachelY + 1 50545 1.56341404 -1.21094865 89.577026 -69.382247
    Unten rechts KachelX + 1 49076 KachelY + 1 50545 1.56350992 -1.21094865 89.582520 -69.382247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21091489--1.21094865) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21091489--1.21094865) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56341404-1.56350992) × cos(-1.21091489) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352163267872288 × 6371000     		do = 215.119453381283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56341404-1.56350992) × cos(-1.21094865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352131670385016 × 6371000     		du = 215.100152009418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21091489)-sin(-1.21094865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352163267872288-0.352131670385016)×R²
    abs(1.56350992-1.56341404)×3.15974872720504e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15974872720504e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15974872720504e-05×40589641000000     		ar = 46266.8833128071m²