Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49072 / 50510
↖ ↑ ↗
← S 69.314440°
E 89.560547°		 ← 215.78 m → S 69.314440°
E 89.566040°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
S 69.316380°
E 89.560547°		 ← 215.76 m →
46 559 m²		 S 69.316380°
E 89.566040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748786926269531 y=0.770729064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748786926269531 × 216)
    floor (0.748786926269531 × 65536)
    floor (49072.5)     		tx = 49072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770729064941406 × 216)
    floor (0.770729064941406 × 65536)
    floor (50510.5)     		ty = 50510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49072 / 50510 ti = "16/49072/50510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49072/50510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49072 ÷ 216
    49072 ÷ 65536     		x = 0.748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50510 ÷ 216
    50510 ÷ 65536     		y = 0.770721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748779296875 × 2 - 1) × π
    0.49755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56312642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.54144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70099294611807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56312642} λ = 1.56312642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70099294611807))-π/2
    2×atan(0.18250221918457)-π/2
    2×0.180515568159602-π/2
    0.361031136319203-1.57079632675     		φ = -1.20976519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56312642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20976519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.314440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49072 KachelY 50510 1.56312642 -1.20976519 89.560547 -69.314440
    Oben rechts KachelX + 1 49073 KachelY 50510 1.56322230 -1.20976519 89.566040 -69.314440
    Unten links KachelX 49072 KachelY + 1 50511 1.56312642 -1.20979906 89.560547 -69.316380
    Unten rechts KachelX + 1 49073 KachelY + 1 50511 1.56322230 -1.20979906 89.566040 -69.316380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20976519--1.20979906) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20976519--1.20979906) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56312642-1.56322230) × cos(-1.20976519) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.353239083478644 × 6371000     		do = 215.776616937132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56312642-1.56322230) × cos(-1.20979906) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.353207396770506 × 6371000     		du = 215.757261064569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20976519)-sin(-1.20979906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353239083478644-0.353207396770506)×R²
    abs(1.56322230-1.56312642)×3.16867081383565e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.16867081383565e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.16867081383565e-05×40589641000000     		ar = 46559.4350774343m²