Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49071 / 50547
↖ ↑ ↗
← S 69.386115°
E 89.555054°		 ← 215.04 m → S 69.386115°
E 89.560547°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 69.388049°
E 89.555054°		 ← 215.02 m →
46 236 m²		 S 69.388049°
E 89.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748771667480469 y=0.771293640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748771667480469 × 216)
    floor (0.748771667480469 × 65536)
    floor (49071.5)     		tx = 49071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771293640136719 × 216)
    floor (0.771293640136719 × 65536)
    floor (50547.5)     		ty = 50547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49071 / 50547 ti = "16/49071/50547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49071/50547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49071 ÷ 216
    49071 ÷ 65536     		x = 0.748764038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50547 ÷ 216
    50547 ÷ 65536     		y = 0.771286010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748764038085938 × 2 - 1) × π
    0.497528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56303055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771286010742188 × 2 - 1) × π
    -0.542572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70454027668996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56303055} λ = 1.56303055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70454027668996))-π/2
    2×atan(0.181855970389748)-π/2
    2×0.179890078886458-π/2
    0.359780157772917-1.57079632675     		φ = -1.21101617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56303055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.555054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21101617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.386115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49071 KachelY 50547 1.56303055 -1.21101617 89.555054 -69.386115
    Oben rechts KachelX + 1 49072 KachelY 50547 1.56312642 -1.21101617 89.560547 -69.386115
    Unten links KachelX 49071 KachelY + 1 50548 1.56303055 -1.21104992 89.555054 -69.388049
    Unten rechts KachelX + 1 49072 KachelY + 1 50548 1.56312642 -1.21104992 89.560547 -69.388049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21101617--1.21104992) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dl = 215.021250000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21101617--1.21104992) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dr = 215.021250000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56303055-1.56312642) × cos(-1.21101617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352068474206495 × 6371000     		do = 215.039118247883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56303055-1.56312642) × cos(-1.21104992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352036884875179 × 6371000     		du = 215.019823870653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21101617)-sin(-1.21104992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352068474206495-0.352036884875179)×R²
    abs(1.56312642-1.56303055)×3.15893313158622e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15893313158622e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15893313158622e-05×40589641000000     		ar = 46235.9056584716m²