Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49070 / 50548
↖ ↑ ↗
← S 69.388049°
E 89.549561°		 ← 215.02 m → S 69.388049°
E 89.555054°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 69.389983°
E 89.549561°		 ← 215 m →
46 232 m²		 S 69.389983°
E 89.555054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748756408691406 y=0.771308898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748756408691406 × 216)
    floor (0.748756408691406 × 65536)
    floor (49070.5)     		tx = 49070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771308898925781 × 216)
    floor (0.771308898925781 × 65536)
    floor (50548.5)     		ty = 50548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49070 / 50548 ti = "16/49070/50548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49070/50548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49070 ÷ 216
    49070 ÷ 65536     		x = 0.748748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50548 ÷ 216
    50548 ÷ 65536     		y = 0.77130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748748779296875 × 2 - 1) × π
    0.49749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56293468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.5426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7046361504892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56293468} λ = 1.56293468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7046361504892))-π/2
    2×atan(0.181838536002716)-π/2
    2×0.179873202572523-π/2
    0.359746405145046-1.57079632675     		φ = -1.21104992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56293468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.549561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21104992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.388049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49070 KachelY 50548 1.56293468 -1.21104992 89.549561 -69.388049
    Oben rechts KachelX + 1 49071 KachelY 50548 1.56303055 -1.21104992 89.555054 -69.388049
    Unten links KachelX 49070 KachelY + 1 50549 1.56293468 -1.21108367 89.549561 -69.389983
    Unten rechts KachelX + 1 49071 KachelY + 1 50549 1.56303055 -1.21108367 89.555054 -69.389983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21104992--1.21108367) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dl = 215.021250000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21104992--1.21108367) × R
    3.37500000000546e-05 × 6371000     		dr = 215.021250000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56293468-1.56303055) × cos(-1.21104992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352036884875179 × 6371000     		do = 215.019823870653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56293468-1.56303055) × cos(-1.21108367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352005295142871 × 6371000     		du = 215.000529248501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21104992)-sin(-1.21108367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352036884875179-0.352005295142871)×R²
    abs(1.56303055-1.56293468)×3.15897323078795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15897323078795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15897323078795e-05×40589641000000     		ar = 46231.7569309218m²