Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49069 / 81401
↖ ↑ ↗
← S 39.894987°
W 45.227967°		 ← 234.33 m → S 39.894987°
W 45.225220°		 →
↑
234.33 m
↓
↑
234.33 m
↓
S 39.897094°
W 45.227967°		 ← 234.32 m →
54 908 m²		 S 39.897094°
W 45.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374370574951172 y=0.621044158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374370574951172 × 217)
    floor (0.374370574951172 × 131072)
    floor (49069.5)     		tx = 49069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621044158935547 × 217)
    floor (0.621044158935547 × 131072)
    floor (81401.5)     		ty = 81401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49069 / 81401 ti = "17/49069/81401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49069/81401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49069 ÷ 217
    49069 ÷ 131072     		x = 0.374366760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81401 ÷ 217
    81401 ÷ 131072     		y = 0.621040344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374366760253906 × 2 - 1) × π
    -0.251266479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78937693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621040344238281 × 2 - 1) × π
    -0.242080688476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.760518912472191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78937693} λ = -0.78937693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760518912472191))-π/2
    2×atan(0.467423812021525)-π/2
    2×0.437248722837194-π/2
    0.874497445674389-1.57079632675     		φ = -0.69629888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78937693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.227967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69629888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.894987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49069 KachelY 81401 -0.78937693 -0.69629888 -45.227967 -39.894987
    Oben rechts KachelX + 1 49070 KachelY 81401 -0.78932899 -0.69629888 -45.225220 -39.894987
    Unten links KachelX 49069 KachelY + 1 81402 -0.78937693 -0.69633566 -45.227967 -39.897094
    Unten rechts KachelX + 1 49070 KachelY + 1 81402 -0.78932899 -0.69633566 -45.225220 -39.897094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69629888--0.69633566) × R
    3.67800000000695e-05 × 6371000     		dl = 234.325380000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69629888--0.69633566) × R
    3.67800000000695e-05 × 6371000     		dr = 234.325380000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78937693--0.78932899) × cos(-0.69629888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76722127029877 × 6371000     		do = 234.329124224588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78937693--0.78932899) × cos(-0.69633566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767197679731171 × 6371000     		du = 234.321919058022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69629888)-sin(-0.69633566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76722127029877-0.767197679731171)×R²
    abs(-0.78932899--0.78937693)×2.35905675991521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35905675991521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35905675991521e-05×40589641000000     		ar = 54908.4169085407m²