Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49069 / 50549
↖ ↑ ↗
← S 69.389983°
E 89.544067°		 ← 215.02 m → S 69.389983°
E 89.549561°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 69.391917°
E 89.544067°		 ← 215 m →
46 232 m²		 S 69.391917°
E 89.549561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748741149902344 y=0.771324157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748741149902344 × 216)
    floor (0.748741149902344 × 65536)
    floor (49069.5)     		tx = 49069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771324157714844 × 216)
    floor (0.771324157714844 × 65536)
    floor (50549.5)     		ty = 50549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49069 / 50549 ti = "16/49069/50549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49069/50549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49069 ÷ 216
    49069 ÷ 65536     		x = 0.748733520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50549 ÷ 216
    50549 ÷ 65536     		y = 0.771316528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748733520507812 × 2 - 1) × π
    0.497467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56283880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771316528320312 × 2 - 1) × π
    -0.542633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70473202428844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56283880} λ = 1.56283880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70473202428844))-π/2
    2×atan(0.181821103287105)-π/2
    2×0.179856327772942-π/2
    0.359712655545884-1.57079632675     		φ = -1.21108367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56283880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.544067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21108367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.389983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49069 KachelY 50549 1.56283880 -1.21108367 89.544067 -69.389983
    Oben rechts KachelX + 1 49070 KachelY 50549 1.56293468 -1.21108367 89.549561 -69.389983
    Unten links KachelX 49069 KachelY + 1 50550 1.56283880 -1.21111742 89.544067 -69.391917
    Unten rechts KachelX + 1 49070 KachelY + 1 50550 1.56293468 -1.21111742 89.549561 -69.391917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21108367--1.21111742) × R
    3.37499999998325e-05 × 6371000     		dl = 215.021249998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21108367--1.21111742) × R
    3.37499999998325e-05 × 6371000     		dr = 215.021249998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56283880-1.56293468) × cos(-1.21108367) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352005295142871 × 6371000     		do = 215.022955505719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56283880-1.56293468) × cos(-1.21111742) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.351973705009607 × 6371000     		du = 215.003658626061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21108367)-sin(-1.21111742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352005295142871-0.351973705009607)×R²
    abs(1.56293468-1.56283880)×3.15901332637036e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15901332637036e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15901332637036e-05×40589641000000     		ar = 46232.4300561484m²