Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49068 / 81245
↖ ↑ ↗
← S 39.565470°
W 45.230713°		 ← 235.40 m → S 39.565470°
W 45.227967°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
S 39.567588°
W 45.230713°		 ← 235.40 m →
55 415 m²		 S 39.567588°
W 45.227967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374362945556641 y=0.619853973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374362945556641 × 217)
    floor (0.374362945556641 × 131072)
    floor (49068.5)     		tx = 49068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619853973388672 × 217)
    floor (0.619853973388672 × 131072)
    floor (81245.5)     		ty = 81245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49068 / 81245 ti = "17/49068/81245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49068/81245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49068 ÷ 217
    49068 ÷ 131072     		x = 0.374359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81245 ÷ 217
    81245 ÷ 131072     		y = 0.619850158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.25128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78942486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619850158691406 × 2 - 1) × π
    -0.239700317382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.753040756131462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78942486} λ = -0.78942486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753040756131462))-π/2
    2×atan(0.470932382834989)-π/2
    2×0.44012429797513-π/2
    0.880248595950259-1.57079632675     		φ = -0.69054773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78942486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69054773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.565470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49068 KachelY 81245 -0.78942486 -0.69054773 -45.230713 -39.565470
    Oben rechts KachelX + 1 49069 KachelY 81245 -0.78937693 -0.69054773 -45.227967 -39.565470
    Unten links KachelX 49068 KachelY + 1 81246 -0.78942486 -0.69058468 -45.230713 -39.567588
    Unten rechts KachelX + 1 49069 KachelY + 1 81246 -0.78937693 -0.69058468 -45.227967 -39.567588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69054773--0.69058468) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dl = 235.408449999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69054773--0.69058468) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dr = 235.408449999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78942486--0.78937693) × cos(-0.69054773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770897248813678 × 6371000     		do = 235.402748819304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78942486--0.78937693) × cos(-0.69058468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770873712633117 × 6371000     		du = 235.395561763429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69054773)-sin(-0.69058468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770897248813678-0.770873712633117)×R²
    abs(-0.78937693--0.78942486)×2.35361805605017e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35361805605017e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35361805605017e-05×40589641000000     		ar = 55414.9502847704m²