Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49064 / 50505
↖ ↑ ↗
← S 69.304735°
E 89.516601°		 ← 215.87 m → S 69.304735°
E 89.522095°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 69.306677°
E 89.516601°		 ← 215.85 m →
46 594 m²		 S 69.306677°
E 89.522095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748664855957031 y=0.770652770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748664855957031 × 216)
    floor (0.748664855957031 × 65536)
    floor (49064.5)     		tx = 49064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770652770996094 × 216)
    floor (0.770652770996094 × 65536)
    floor (50505.5)     		ty = 50505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49064 / 50505 ti = "16/49064/50505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49064/50505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49064 ÷ 216
    49064 ÷ 65536     		x = 0.7486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50505 ÷ 216
    50505 ÷ 65536     		y = 0.770645141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    0.497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56235943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770645141601562 × 2 - 1) × π
    -0.541290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70051357712187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56235943} λ = 1.56235943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70051357712187))-π/2
    2×atan(0.182589726062551)-π/2
    2×0.180600253079239-π/2
    0.361200506158477-1.57079632675     		φ = -1.20959582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56235943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.516601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20959582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.304735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49064 KachelY 50505 1.56235943 -1.20959582 89.516601 -69.304735
    Oben rechts KachelX + 1 49065 KachelY 50505 1.56245531 -1.20959582 89.522095 -69.304735
    Unten links KachelX 49064 KachelY + 1 50506 1.56235943 -1.20962970 89.516601 -69.306677
    Unten rechts KachelX + 1 49065 KachelY + 1 50506 1.56245531 -1.20962970 89.522095 -69.306677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20959582--1.20962970) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dl = 215.849479999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20959582--1.20962970) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dr = 215.849479999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56235943-1.56245531) × cos(-1.20959582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.353397529649658 × 6371000     		do = 215.873404014696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56235943-1.56245531) × cos(-1.20962970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.353365835613409 × 6371000     		du = 215.854043665746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20959582)-sin(-1.20962970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353397529649658-0.353365835613409)×R²
    abs(1.56245531-1.56235943)×3.16940362489748e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.16940362489748e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.16940362489748e-05×40589641000000     		ar = 46594.0725458908m²