Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49060 / 81253
↖ ↑ ↗
← S 39.582407°
W 45.252686°		 ← 235.39 m → S 39.582407°
W 45.249939°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
S 39.584524°
W 45.252686°		 ← 235.39 m →
55 398 m²		 S 39.584524°
W 45.249939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374301910400391 y=0.619915008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374301910400391 × 217)
    floor (0.374301910400391 × 131072)
    floor (49060.5)     		tx = 49060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619915008544922 × 217)
    floor (0.619915008544922 × 131072)
    floor (81253.5)     		ty = 81253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49060 / 81253 ti = "17/49060/81253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49060/81253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49060 ÷ 217
    49060 ÷ 131072     		x = 0.374298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81253 ÷ 217
    81253 ÷ 131072     		y = 0.619911193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.25140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78980836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619911193847656 × 2 - 1) × π
    -0.239822387695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.753424251328423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78980836} λ = -0.78980836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753424251328423))-π/2
    2×atan(0.470751817153327)-π/2
    2×0.439976498333562-π/2
    0.879952996667125-1.57079632675     		φ = -0.69084333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78980836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.252686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69084333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.582407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49060 KachelY 81253 -0.78980836 -0.69084333 -45.252686 -39.582407
    Oben rechts KachelX + 1 49061 KachelY 81253 -0.78976042 -0.69084333 -45.249939 -39.582407
    Unten links KachelX 49060 KachelY + 1 81254 -0.78980836 -0.69088027 -45.252686 -39.584524
    Unten rechts KachelX + 1 49061 KachelY + 1 81254 -0.78976042 -0.69088027 -45.249939 -39.584524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69084333--0.69088027) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69084333--0.69088027) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78980836--0.78976042) × cos(-0.69084333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770708929901671 × 6371000     		do = 235.394345239671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78980836--0.78976042) × cos(-0.69088027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770685391674362 × 6371000     		du = 235.387156059177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69084333)-sin(-0.69088027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770708929901671-0.770685391674362)×R²
    abs(-0.78976042--0.78980836)×2.3538227308717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3538227308717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3538227308717e-05×40589641000000     		ar = 55397.9750162903m²