Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49059 / 82343
↖ ↑ ↗
← S 41.851150°
W 45.255432°		 ← 227.51 m → S 41.851150°
W 45.252686°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
S 41.853196°
W 45.255432°		 ← 227.50 m →
51 759 m²		 S 41.853196°
W 45.252686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374294281005859 y=0.628231048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374294281005859 × 217)
    floor (0.374294281005859 × 131072)
    floor (49059.5)     		tx = 49059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628231048583984 × 217)
    floor (0.628231048583984 × 131072)
    floor (82343.5)     		ty = 82343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49059 / 82343 ti = "17/49059/82343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49059/82343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49059 ÷ 217
    49059 ÷ 131072     		x = 0.374290466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82343 ÷ 217
    82343 ÷ 131072     		y = 0.628227233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374290466308594 × 2 - 1) × π
    -0.251419067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.78985630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628227233886719 × 2 - 1) × π
    -0.256454467773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.805675471914284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78985630} λ = -0.78985630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805675471914284))-π/2
    2×atan(0.446786033193474)-π/2
    2×0.420177976593692-π/2
    0.840355953187384-1.57079632675     		φ = -0.73044037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78985630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.255432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73044037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.851150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49059 KachelY 82343 -0.78985630 -0.73044037 -45.255432 -41.851150
    Oben rechts KachelX + 1 49060 KachelY 82343 -0.78980836 -0.73044037 -45.252686 -41.851150
    Unten links KachelX 49059 KachelY + 1 82344 -0.78985630 -0.73047608 -45.255432 -41.853196
    Unten rechts KachelX + 1 49060 KachelY + 1 82344 -0.78980836 -0.73047608 -45.252686 -41.853196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73044037--0.73047608) × R
    3.57100000000221e-05 × 6371000     		dl = 227.508410000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73044037--0.73047608) × R
    3.57100000000221e-05 × 6371000     		dr = 227.508410000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78985630--0.78980836) × cos(-0.73044037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744880660718949 × 6371000     		do = 227.505727011625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78985630--0.78980836) × cos(-0.73047608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744856834613336 × 6371000     		du = 227.498449905687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73044037)-sin(-0.73047608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744880660718949-0.744856834613336)×R²
    abs(-0.78980836--0.78985630)×2.38261056129119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38261056129119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38261056129119e-05×40589641000000     		ar = 51758.6384226263m²