Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49057 / 81426
↖ ↑ ↗
← S 39.947648°
W 45.260925°		 ← 234.15 m → S 39.947648°
W 45.258179°		 →
↑
234.13 m
↓
↑
234.13 m
↓
S 39.949753°
W 45.260925°		 ← 234.14 m →
54 821 m²		 S 39.949753°
W 45.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374279022216797 y=0.621234893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374279022216797 × 217)
    floor (0.374279022216797 × 131072)
    floor (49057.5)     		tx = 49057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621234893798828 × 217)
    floor (0.621234893798828 × 131072)
    floor (81426.5)     		ty = 81426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49057 / 81426 ti = "17/49057/81426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49057/81426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49057 ÷ 217
    49057 ÷ 131072     		x = 0.374275207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81426 ÷ 217
    81426 ÷ 131072     		y = 0.621231079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374275207519531 × 2 - 1) × π
    -0.251449584960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78995217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621231079101562 × 2 - 1) × π
    -0.242462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.761717334962692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78995217} λ = -0.78995217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761717334962692))-π/2
    2×atan(0.466863976339442)-π/2
    2×0.436789171928496-π/2
    0.873578343856992-1.57079632675     		φ = -0.69721798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78995217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.260925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69721798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.947648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49057 KachelY 81426 -0.78995217 -0.69721798 -45.260925 -39.947648
    Oben rechts KachelX + 1 49058 KachelY 81426 -0.78990423 -0.69721798 -45.258179 -39.947648
    Unten links KachelX 49057 KachelY + 1 81427 -0.78995217 -0.69725473 -45.260925 -39.949753
    Unten rechts KachelX + 1 49058 KachelY + 1 81427 -0.78990423 -0.69725473 -45.258179 -39.949753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69721798--0.69725473) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dl = 234.13425000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69721798--0.69725473) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dr = 234.13425000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78995217--0.78990423) × cos(-0.69721798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766631451664996 × 6371000     		do = 234.148978431902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78995217--0.78990423) × cos(-0.69725473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7666078544357 × 6371000     		du = 234.141771230683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69721798)-sin(-0.69725473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766631451664996-0.7666078544357)×R²
    abs(-0.78990423--0.78995217)×2.35972292953468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35972292953468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35972292953468e-05×40589641000000     		ar = 54821.4517333121m²