Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49057 / 51363
↖ ↑ ↗
← S 70.907659°
E 89.478150°		 ← 199.78 m → S 70.907659°
E 89.483643°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 70.909456°
E 89.478150°		 ← 199.77 m →
39 914 m²		 S 70.909456°
E 89.483643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748558044433594 y=0.783744812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748558044433594 × 216)
    floor (0.748558044433594 × 65536)
    floor (49057.5)     		tx = 49057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783744812011719 × 216)
    floor (0.783744812011719 × 65536)
    floor (51363.5)     		ty = 51363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49057 / 51363 ti = "16/49057/51363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49057/51363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49057 ÷ 216
    49057 ÷ 65536     		x = 0.748550415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51363 ÷ 216
    51363 ÷ 65536     		y = 0.783737182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748550415039062 × 2 - 1) × π
    0.497100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56168832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783737182617188 × 2 - 1) × π
    -0.567474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78277329686989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56168832} λ = 1.56168832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78277329686989))-π/2
    2×atan(0.168171111536337)-π/2
    2×0.166612103543849-π/2
    0.333224207087697-1.57079632675     		φ = -1.23757212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56168832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.478150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23757212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.907659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49057 KachelY 51363 1.56168832 -1.23757212 89.478150 -70.907659
    Oben rechts KachelX + 1 49058 KachelY 51363 1.56178419 -1.23757212 89.483643 -70.907659
    Unten links KachelX 49057 KachelY + 1 51364 1.56168832 -1.23760348 89.478150 -70.909456
    Unten rechts KachelX + 1 49058 KachelY + 1 51364 1.56178419 -1.23760348 89.483643 -70.909456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23757212--1.23760348) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dl = 199.794559999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23757212--1.23760348) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dr = 199.794559999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56168832-1.56178419) × cos(-1.23757212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327091574967618 × 6371000     		do = 199.783533660255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56168832-1.56178419) × cos(-1.23760348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327061939837396 × 6371000     		du = 199.765432885153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23757212)-sin(-1.23760348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327091574967618-0.327061939837396)×R²
    abs(1.56178419-1.56168832)×2.96351302224718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96351302224718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96351302224718e-05×40589641000000     		ar = 39913.8549876028m²