Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49056 / 52128
↖ ↑ ↗
← S 72.235514°
E 89.472656°		 ← 186.37 m → S 72.235514°
E 89.478150°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
S 72.237190°
E 89.472656°		 ← 186.36 m →
34 730 m²		 S 72.237190°
E 89.478150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748542785644531 y=0.795417785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748542785644531 × 216)
    floor (0.748542785644531 × 65536)
    floor (49056.5)     		tx = 49056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795417785644531 × 216)
    floor (0.795417785644531 × 65536)
    floor (52128.5)     		ty = 52128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49056 / 52128 ti = "16/49056/52128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49056/52128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49056 ÷ 216
    49056 ÷ 65536     		x = 0.74853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52128 ÷ 216
    52128 ÷ 65536     		y = 0.79541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56159244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79541015625 × 2 - 1) × π
    -0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56159244} λ = 1.56159244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85611675328857))-π/2
    2×atan(0.156278320859607)-π/2
    2×0.15502438771513-π/2
    0.31004877543026-1.57079632675     		φ = -1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56159244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49056 KachelY 52128 1.56159244 -1.26074755 89.472656 -72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 49057 KachelY 52128 1.56168832 -1.26074755 89.478150 -72.235514
    Unten links KachelX 49056 KachelY + 1 52129 1.56159244 -1.26077680 89.472656 -72.237190
    Unten rechts KachelX + 1 49057 KachelY + 1 52129 1.56168832 -1.26077680 89.478150 -72.237190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26074755--1.26077680) × R
    2.92499999998697e-05 × 6371000     		dl = 186.35174999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26074755--1.26077680) × R
    2.92499999998697e-05 × 6371000     		dr = 186.35174999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56159244-1.56168832) × cos(-1.26074755) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 186.373894474531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56159244-1.56168832) × cos(-1.26077680) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.305077232407576 × 6371000     		du = 186.35687893035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26074755)-sin(-1.26077680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.305077232407576)×R²
    abs(1.56168832-1.56159244)×2.7855452166492e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.7855452166492e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.7855452166492e-05×40589641000000     		ar = 34729.5159536384m²