Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49056 / 51872
↖ ↑ ↗
← S 71.801410°
E 89.472656°		 ← 190.78 m → S 71.801410°
E 89.478150°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
S 71.803126°
E 89.472656°		 ← 190.76 m →
36 388 m²		 S 71.803126°
E 89.478150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748542785644531 y=0.791511535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748542785644531 × 216)
    floor (0.748542785644531 × 65536)
    floor (49056.5)     		tx = 49056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791511535644531 × 216)
    floor (0.791511535644531 × 65536)
    floor (51872.5)     		ty = 51872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49056 / 51872 ti = "16/49056/51872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49056/51872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49056 ÷ 216
    49056 ÷ 65536     		x = 0.74853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51872 ÷ 216
    51872 ÷ 65536     		y = 0.79150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56159244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83157306068311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56159244} λ = 1.56159244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83157306068311))-π/2
    2×atan(0.160161425867924)-π/2
    2×0.158812654738502-π/2
    0.317625309477003-1.57079632675     		φ = -1.25317102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56159244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25317102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.801410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49056 KachelY 51872 1.56159244 -1.25317102 89.472656 -71.801410
    Oben rechts KachelX + 1 49057 KachelY 51872 1.56168832 -1.25317102 89.478150 -71.801410
    Unten links KachelX 49056 KachelY + 1 51873 1.56159244 -1.25320096 89.472656 -71.803126
    Unten rechts KachelX + 1 49057 KachelY + 1 51873 1.56168832 -1.25320096 89.478150 -71.803126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25317102--1.25320096) × R
    2.99400000001171e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25317102--1.25320096) × R
    2.99400000001171e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56159244-1.56168832) × cos(-1.25317102) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.312311532890939 × 6371000     		do = 190.775962087374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56159244-1.56168832) × cos(-1.25320096) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.312283090357549 × 6371000     		du = 190.758587923757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25317102)-sin(-1.25320096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312311532890939-0.312283090357549)×R²
    abs(1.56168832-1.56159244)×2.84425333902383e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.84425333902383e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.84425333902383e-05×40589641000000     		ar = 36388.4265763663m²