Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49055 / 81429
↖ ↑ ↗
← S 39.953965°
W 45.266418°		 ← 234.08 m → S 39.953965°
W 45.263672°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 39.956070°
W 45.266418°		 ← 234.07 m →
54 790 m²		 S 39.956070°
W 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374263763427734 y=0.621257781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374263763427734 × 217)
    floor (0.374263763427734 × 131072)
    floor (49055.5)     		tx = 49055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621257781982422 × 217)
    floor (0.621257781982422 × 131072)
    floor (81429.5)     		ty = 81429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49055 / 81429 ti = "17/49055/81429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49055/81429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49055 ÷ 217
    49055 ÷ 131072     		x = 0.374259948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81429 ÷ 217
    81429 ÷ 131072     		y = 0.621253967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374259948730469 × 2 - 1) × π
    -0.251480102539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.79004804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621253967285156 × 2 - 1) × π
    -0.242507934570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.761861145661552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79004804} λ = -0.79004804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761861145661552))-π/2
    2×atan(0.466796841132228)-π/2
    2×0.436734049571339-π/2
    0.873468099142678-1.57079632675     		φ = -0.69732823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79004804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.266418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69732823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.953965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49055 KachelY 81429 -0.79004804 -0.69732823 -45.266418 -39.953965
    Oben rechts KachelX + 1 49056 KachelY 81429 -0.79000011 -0.69732823 -45.263672 -39.953965
    Unten links KachelX 49055 KachelY + 1 81430 -0.79004804 -0.69736497 -45.266418 -39.956070
    Unten rechts KachelX + 1 49056 KachelY + 1 81430 -0.79000011 -0.69736497 -45.263672 -39.956070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69732823--0.69736497) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69732823--0.69736497) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79004804--0.79000011) × cos(-0.69732823) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766560656871086 × 6371000     		do = 234.078518299889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79004804--0.79000011) × cos(-0.69736497) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.766537062957832 × 6371000     		du = 234.071313614642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69732823)-sin(-0.69736497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766560656871086-0.766537062957832)×R²
    abs(-0.79000011--0.79004804)×2.35939132544605e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35939132544605e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35939132544605e-05×40589641000000     		ar = 54790.0419847498m²