Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49048 / 81197
↖ ↑ ↗
← S 39.463764°
W 45.285644°		 ← 235.80 m → S 39.463764°
W 45.282898°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
S 39.465885°
W 45.285644°		 ← 235.79 m →
55 598 m²		 S 39.465885°
W 45.282898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374210357666016 y=0.619487762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374210357666016 × 217)
    floor (0.374210357666016 × 131072)
    floor (49048.5)     		tx = 49048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619487762451172 × 217)
    floor (0.619487762451172 × 131072)
    floor (81197.5)     		ty = 81197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49048 / 81197 ti = "17/49048/81197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49048/81197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49048 ÷ 217
    49048 ÷ 131072     		x = 0.37420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81197 ÷ 217
    81197 ÷ 131072     		y = 0.619483947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.2515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79038360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619483947753906 × 2 - 1) × π
    -0.238967895507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.750739784949699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79038360} λ = -0.79038360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750739784949699))-π/2
    2×atan(0.472017232301489)-π/2
    2×0.441011853939166-π/2
    0.882023707878332-1.57079632675     		φ = -0.68877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79038360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.285644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.463764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49048 KachelY 81197 -0.79038360 -0.68877262 -45.285644 -39.463764
    Oben rechts KachelX + 1 49049 KachelY 81197 -0.79033566 -0.68877262 -45.282898 -39.463764
    Unten links KachelX 49048 KachelY + 1 81198 -0.79038360 -0.68880963 -45.285644 -39.465885
    Unten rechts KachelX + 1 49049 KachelY + 1 81198 -0.79033566 -0.68880963 -45.282898 -39.465885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68877262--0.68880963) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dl = 235.790710000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68877262--0.68880963) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dr = 235.790710000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79038360--0.79033566) × cos(-0.68877262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772026706881458 × 6371000     		do = 235.796828248878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79038360--0.79033566) × cos(-0.68880963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772003183163455 × 6371000     		du = 235.789643499899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68877262)-sin(-0.68880963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772026706881458-0.772003183163455)×R²
    abs(-0.79033566--0.79038360)×2.35237180029602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35237180029602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35237180029602e-05×40589641000000     		ar = 55597.8545064539m²