Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49047 / 50589
↖ ↑ ↗
← S 69.467189°
E 89.423218°		 ← 214.23 m → S 69.467189°
E 89.428711°		 →
↑
214.26 m
↓
↑
214.26 m
↓
S 69.469116°
E 89.423218°		 ← 214.21 m →
45 898 m²		 S 69.469116°
E 89.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748405456542969 y=0.771934509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748405456542969 × 216)
    floor (0.748405456542969 × 65536)
    floor (49047.5)     		tx = 49047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771934509277344 × 216)
    floor (0.771934509277344 × 65536)
    floor (50589.5)     		ty = 50589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49047 / 50589 ti = "16/49047/50589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49047/50589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49047 ÷ 216
    49047 ÷ 65536     		x = 0.748397827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50589 ÷ 216
    50589 ÷ 65536     		y = 0.771926879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748397827148438 × 2 - 1) × π
    0.496795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56072958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771926879882812 × 2 - 1) × π
    -0.543853759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70856697625804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56072958} λ = 1.56072958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70856697625804))-π/2
    2×atan(0.181125163389902)-π/2
    2×0.179182576221179-π/2
    0.358365152442357-1.57079632675     		φ = -1.21243117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56072958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.423218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21243117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.467189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49047 KachelY 50589 1.56072958 -1.21243117 89.423218 -69.467189
    Oben rechts KachelX + 1 49048 KachelY 50589 1.56082545 -1.21243117 89.428711 -69.467189
    Unten links KachelX 49047 KachelY + 1 50590 1.56072958 -1.21246480 89.423218 -69.469116
    Unten rechts KachelX + 1 49048 KachelY + 1 50590 1.56082545 -1.21246480 89.428711 -69.469116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21243117--1.21246480) × R
    3.36300000001177e-05 × 6371000     		dl = 214.25673000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21243117--1.21246480) × R
    3.36300000001177e-05 × 6371000     		dr = 214.25673000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56072958-1.56082545) × cos(-1.21243117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35074371863005 × 6371000     		do = 214.229973743551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56072958-1.56082545) × cos(-1.21246480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350712224895644 × 6371000     		du = 214.210737755744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21243117)-sin(-1.21246480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35074371863005-0.350712224895644)×R²
    abs(1.56082545-1.56072958)×3.14937344053634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14937344053634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14937344053634e-05×40589641000000     		ar = 45898.1529269722m²