Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49046 / 50598
↖ ↑ ↗
← S 69.484523°
E 89.417724°		 ← 214.08 m → S 69.484523°
E 89.423218°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 69.486447°
E 89.417724°		 ← 214.06 m →
45 811 m²		 S 69.486447°
E 89.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748390197753906 y=0.772071838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748390197753906 × 216)
    floor (0.748390197753906 × 65536)
    floor (49046.5)     		tx = 49046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772071838378906 × 216)
    floor (0.772071838378906 × 65536)
    floor (50598.5)     		ty = 50598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49046 / 50598 ti = "16/49046/50598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49046/50598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49046 ÷ 216
    49046 ÷ 65536     		x = 0.748382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50598 ÷ 216
    50598 ÷ 65536     		y = 0.772064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748382568359375 × 2 - 1) × π
    0.49676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56063370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.54412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7094298404512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56063370} λ = 1.56063370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7094298404512))-π/2
    2×atan(0.18096894437952)-π/2
    2×0.179031315248627-π/2
    0.358062630497253-1.57079632675     		φ = -1.21273370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56063370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.417724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21273370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.484523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49046 KachelY 50598 1.56063370 -1.21273370 89.417724 -69.484523
    Oben rechts KachelX + 1 49047 KachelY 50598 1.56072958 -1.21273370 89.423218 -69.484523
    Unten links KachelX 49046 KachelY + 1 50599 1.56063370 -1.21276729 89.417724 -69.486447
    Unten rechts KachelX + 1 49047 KachelY + 1 50599 1.56072958 -1.21276729 89.423218 -69.486447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21273370--1.21276729) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dl = 214.00188999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21273370--1.21276729) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dr = 214.00188999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56063370-1.56072958) × cos(-1.21273370) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.350460391864948 × 6371000     		do = 214.079249052439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56063370-1.56072958) × cos(-1.21276729) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.350428932027221 × 6371000     		du = 214.060031764003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21273370)-sin(-1.21276729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350460391864948-0.350428932027221)×R²
    abs(1.56072958-1.56063370)×3.14598377264552e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.14598377264552e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.14598377264552e-05×40589641000000     		ar = 45811.3076429744m²