Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49046 / 50594
↖ ↑ ↗
← S 69.476820°
E 89.417724°		 ← 214.16 m → S 69.476820°
E 89.423218°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
S 69.478746°
E 89.417724°		 ← 214.14 m →
45 855 m²		 S 69.478746°
E 89.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748390197753906 y=0.772010803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748390197753906 × 216)
    floor (0.748390197753906 × 65536)
    floor (49046.5)     		tx = 49046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772010803222656 × 216)
    floor (0.772010803222656 × 65536)
    floor (50594.5)     		ty = 50594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49046 / 50594 ti = "16/49046/50594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49046/50594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49046 ÷ 216
    49046 ÷ 65536     		x = 0.748382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50594 ÷ 216
    50594 ÷ 65536     		y = 0.772003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748382568359375 × 2 - 1) × π
    0.49676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56063370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.54400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70904634525424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56063370} λ = 1.56063370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70904634525424))-π/2
    2×atan(0.181038358409612)-π/2
    2×0.179098527257238-π/2
    0.358197054514477-1.57079632675     		φ = -1.21259927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56063370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.417724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21259927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.476820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49046 KachelY 50594 1.56063370 -1.21259927 89.417724 -69.476820
    Oben rechts KachelX + 1 49047 KachelY 50594 1.56072958 -1.21259927 89.423218 -69.476820
    Unten links KachelX 49046 KachelY + 1 50595 1.56063370 -1.21263288 89.417724 -69.478746
    Unten rechts KachelX + 1 49047 KachelY + 1 50595 1.56072958 -1.21263288 89.423218 -69.478746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21259927--1.21263288) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21259927--1.21263288) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56063370-1.56072958) × cos(-1.21259927) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.350586292818427 × 6371000     		do = 214.156155836205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56063370-1.56072958) × cos(-1.21263288) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.350554815832575 × 6371000     		du = 214.136928072811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21259927)-sin(-1.21263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350586292818427-0.350554815832575)×R²
    abs(1.56072958-1.56063370)×3.1476985852319e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.1476985852319e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.1476985852319e-05×40589641000000     		ar = 45855.0512717711m²