Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49045 / 51207
↖ ↑ ↗
← S 70.625374°
E 89.412231°		 ← 202.62 m → S 70.625374°
E 89.417724°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 70.627196°
E 89.412231°		 ← 202.61 m →
41 049 m²		 S 70.627196°
E 89.417724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748374938964844 y=0.781364440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748374938964844 × 216)
    floor (0.748374938964844 × 65536)
    floor (49045.5)     		tx = 49045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781364440917969 × 216)
    floor (0.781364440917969 × 65536)
    floor (51207.5)     		ty = 51207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49045 / 51207 ti = "16/49045/51207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49045/51207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49045 ÷ 216
    49045 ÷ 65536     		x = 0.748367309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51207 ÷ 216
    51207 ÷ 65536     		y = 0.781356811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748367309570312 × 2 - 1) × π
    0.496734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56053783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.562713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76781698418843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56053783} λ = 1.56053783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76781698418843))-π/2
    2×atan(0.170705234594617)-π/2
    2×0.169075502971392-π/2
    0.338151005942784-1.57079632675     		φ = -1.23264532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56053783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.412231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23264532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.625374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49045 KachelY 51207 1.56053783 -1.23264532 89.412231 -70.625374
    Oben rechts KachelX + 1 49046 KachelY 51207 1.56063370 -1.23264532 89.417724 -70.625374
    Unten links KachelX 49045 KachelY + 1 51208 1.56053783 -1.23267712 89.412231 -70.627196
    Unten rechts KachelX + 1 49046 KachelY + 1 51208 1.56063370 -1.23267712 89.417724 -70.627196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23264532--1.23267712) × R
    3.17999999999152e-05 × 6371000     		dl = 202.59779999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23264532--1.23267712) × R
    3.17999999999152e-05 × 6371000     		dr = 202.59779999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56053783-1.56063370) × cos(-1.23264532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331743376104761 × 6371000     		do = 202.624796903294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56053783-1.56063370) × cos(-1.23267712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331713376781556 × 6371000     		du = 202.606473683572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23264532)-sin(-1.23267712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331743376104761-0.331713376781556)×R²
    abs(1.56063370-1.56053783)×2.99993232055207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99993232055207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99993232055207e-05×40589641000000     		ar = 41049.4819593382m²