Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49042 / 50474
↖ ↑ ↗
← S 69.244472°
E 89.395752°		 ← 216.45 m → S 69.244472°
E 89.401245°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
S 69.246419°
E 89.395752°		 ← 216.43 m →
46 857 m²		 S 69.246419°
E 89.401245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748329162597656 y=0.770179748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748329162597656 × 216)
    floor (0.748329162597656 × 65536)
    floor (49042.5)     		tx = 49042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770179748535156 × 216)
    floor (0.770179748535156 × 65536)
    floor (50474.5)     		ty = 50474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49042 / 50474 ti = "16/49042/50474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49042/50474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49042 ÷ 216
    49042 ÷ 65536     		x = 0.748321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50474 ÷ 216
    50474 ÷ 65536     		y = 0.770172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    0.49664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56025021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.54034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69754148934543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56025021} λ = 1.56025021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69754148934543))-π/2
    2×atan(0.18313320599045)-π/2
    2×0.181126147956895-π/2
    0.36225229591379-1.57079632675     		φ = -1.20854403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56025021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20854403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.244472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49042 KachelY 50474 1.56025021 -1.20854403 89.395752 -69.244472
    Oben rechts KachelX + 1 49043 KachelY 50474 1.56034608 -1.20854403 89.401245 -69.244472
    Unten links KachelX 49042 KachelY + 1 50475 1.56025021 -1.20857801 89.395752 -69.246419
    Unten rechts KachelX + 1 49043 KachelY + 1 50475 1.56034608 -1.20857801 89.401245 -69.246419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20854403--1.20857801) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20854403--1.20857801) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56025021-1.56034608) × cos(-1.20854403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354381255394043 × 6371000     		do = 216.451736711923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56025021-1.56034608) × cos(-1.20857801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354349480456648 × 6371000     		du = 216.43232896877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20854403)-sin(-1.20857801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354381255394043-0.354349480456648)×R²
    abs(1.56034608-1.56025021)×3.17749373942577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17749373942577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17749373942577e-05×40589641000000     		ar = 46856.7954624032m²