Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49041 / 82545
↖ ↑ ↗
← S 42.263082°
W 45.304871°		 ← 226.03 m → S 42.263082°
W 45.302124°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 42.265115°
W 45.304871°		 ← 226.03 m →
51 093 m²		 S 42.265115°
W 45.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374156951904297 y=0.629772186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374156951904297 × 217)
    floor (0.374156951904297 × 131072)
    floor (49041.5)     		tx = 49041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629772186279297 × 217)
    floor (0.629772186279297 × 131072)
    floor (82545.5)     		ty = 82545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49041 / 82545 ti = "17/49041/82545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49041/82545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49041 ÷ 217
    49041 ÷ 131072     		x = 0.374153137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82545 ÷ 217
    82545 ÷ 131072     		y = 0.629768371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374153137207031 × 2 - 1) × π
    -0.251693725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.79071916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629768371582031 × 2 - 1) × π
    -0.259536743164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.815358725637535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79071916} λ = -0.79071916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815358725637535))-π/2
    2×atan(0.442480569763358)-π/2
    2×0.416583198306056-π/2
    0.833166396612113-1.57079632675     		φ = -0.73762993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79071916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.304871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73762993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.263082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49041 KachelY 82545 -0.79071916 -0.73762993 -45.304871 -42.263082
    Oben rechts KachelX + 1 49042 KachelY 82545 -0.79067122 -0.73762993 -45.302124 -42.263082
    Unten links KachelX 49041 KachelY + 1 82546 -0.79071916 -0.73766541 -45.304871 -42.265115
    Unten rechts KachelX + 1 49042 KachelY + 1 82546 -0.79067122 -0.73766541 -45.302124 -42.265115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73762993--0.73766541) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73762993--0.73766541) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79071916--0.79067122) × cos(-0.73762993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740064592710576 × 6371000     		do = 226.034775876278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79071916--0.79067122) × cos(-0.73766541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740040730674685 × 6371000     		du = 226.027487796308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73762993)-sin(-0.73766541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740064592710576-0.740040730674685)×R²
    abs(-0.79067122--0.79071916)×2.38620358901098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38620358901098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38620358901098e-05×40589641000000     		ar = 51092.7732215368m²