Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49041 / 82543
↖ ↑ ↗
← S 42.259017°
W 45.304871°		 ← 226.05 m → S 42.259017°
W 45.302124°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 42.261049°
W 45.304871°		 ← 226.04 m →
51 082 m²		 S 42.261049°
W 45.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374156951904297 y=0.629756927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374156951904297 × 217)
    floor (0.374156951904297 × 131072)
    floor (49041.5)     		tx = 49041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629756927490234 × 217)
    floor (0.629756927490234 × 131072)
    floor (82543.5)     		ty = 82543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49041 / 82543 ti = "17/49041/82543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49041/82543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49041 ÷ 217
    49041 ÷ 131072     		x = 0.374153137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82543 ÷ 217
    82543 ÷ 131072     		y = 0.629753112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374153137207031 × 2 - 1) × π
    -0.251693725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.79071916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629753112792969 × 2 - 1) × π
    -0.259506225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.815262851838295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79071916} λ = -0.79071916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815262851838295))-π/2
    2×atan(0.442522994090329)-π/2
    2×0.416618675851872-π/2
    0.833237351703744-1.57079632675     		φ = -0.73755898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79071916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.304871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73755898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.259017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49041 KachelY 82543 -0.79071916 -0.73755898 -45.304871 -42.259017
    Oben rechts KachelX + 1 49042 KachelY 82543 -0.79067122 -0.73755898 -45.302124 -42.259017
    Unten links KachelX 49041 KachelY + 1 82544 -0.79071916 -0.73759445 -45.304871 -42.261049
    Unten rechts KachelX + 1 49042 KachelY + 1 82544 -0.79067122 -0.73759445 -45.302124 -42.261049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73755898--0.73759445) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dl = 225.979370000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73755898--0.73759445) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dr = 225.979370000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79071916--0.79067122) × cos(-0.73755898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740112307262646 × 6371000     		do = 226.049349128653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79071916--0.79067122) × cos(-0.73759445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74008845381485 × 6371000     		du = 226.042063671708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73755898)-sin(-0.73759445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740112307262646-0.74008845381485)×R²
    abs(-0.79067122--0.79071916)×2.3853447795763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3853447795763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3853447795763e-05×40589641000000     		ar = 51081.6663289391m²