Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49041 / 50607
↖ ↑ ↗
← S 69.501841°
E 89.390259°		 ← 213.88 m → S 69.501841°
E 89.395752°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 69.503765°
E 89.390259°		 ← 213.86 m →
45 756 m²		 S 69.503765°
E 89.395752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748313903808594 y=0.772209167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748313903808594 × 216)
    floor (0.748313903808594 × 65536)
    floor (49041.5)     		tx = 49041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772209167480469 × 216)
    floor (0.772209167480469 × 65536)
    floor (50607.5)     		ty = 50607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49041 / 50607 ti = "16/49041/50607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49041/50607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49041 ÷ 216
    49041 ÷ 65536     		x = 0.748306274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50607 ÷ 216
    50607 ÷ 65536     		y = 0.772201538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748306274414062 × 2 - 1) × π
    0.496612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56015434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772201538085938 × 2 - 1) × π
    -0.544403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71029270464436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56015434} λ = 1.56015434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71029270464436))-π/2
    2×atan(0.18081286010679)-π/2
    2×0.178880176466618-π/2
    0.357760352933237-1.57079632675     		φ = -1.21303597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56015434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.390259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21303597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.501841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49041 KachelY 50607 1.56015434 -1.21303597 89.390259 -69.501841
    Oben rechts KachelX + 1 49042 KachelY 50607 1.56025021 -1.21303597 89.395752 -69.501841
    Unten links KachelX 49041 KachelY + 1 50608 1.56015434 -1.21306955 89.390259 -69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 49042 KachelY + 1 50608 1.56025021 -1.21306955 89.395752 -69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21303597--1.21306955) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21303597--1.21306955) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56015434-1.56025021) × cos(-1.21303597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350177276561876 × 6371000     		do = 213.883997855897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56015434-1.56025021) × cos(-1.21306955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 213.864786120589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21303597)-sin(-1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350177276561876-0.350145822534387)×R²
    abs(1.56025021-1.56015434)×3.14540274892749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14540274892749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14540274892749e-05×40589641000000     		ar = 45755.898174819m²