Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49040 / 81198
↖ ↑ ↗
← S 39.465885°
W 45.307617°		 ← 235.79 m → S 39.465885°
W 45.304871°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
S 39.468005°
W 45.307617°		 ← 235.78 m →
55 581 m²		 S 39.468005°
W 45.304871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374149322509766 y=0.619495391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374149322509766 × 217)
    floor (0.374149322509766 × 131072)
    floor (49040.5)     		tx = 49040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619495391845703 × 217)
    floor (0.619495391845703 × 131072)
    floor (81198.5)     		ty = 81198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49040 / 81198 ti = "17/49040/81198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49040/81198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49040 ÷ 217
    49040 ÷ 131072     		x = 0.3741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81198 ÷ 217
    81198 ÷ 131072     		y = 0.619491577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619491577148438 × 2 - 1) × π
    -0.238983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.75078772184932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79076710} λ = -0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75078772184932))-π/2
    2×atan(0.471994605801131)-π/2
    2×0.440993349937671-π/2
    0.881986699875343-1.57079632675     		φ = -0.68880963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68880963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.465885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49040 KachelY 81198 -0.79076710 -0.68880963 -45.307617 -39.465885
    Oben rechts KachelX + 1 49041 KachelY 81198 -0.79071916 -0.68880963 -45.304871 -39.465885
    Unten links KachelX 49040 KachelY + 1 81199 -0.79076710 -0.68884663 -45.307617 -39.468005
    Unten rechts KachelX + 1 49041 KachelY + 1 81199 -0.79071916 -0.68884663 -45.304871 -39.468005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68880963--0.68884663) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dl = 235.727000000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68880963--0.68884663) × R
    3.70000000000648e-05 × 6371000     		dr = 235.727000000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79076710--0.79071916) × cos(-0.68880963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772003183163455 × 6371000     		do = 235.789643499899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79076710--0.79071916) × cos(-0.68884663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77197966474448 × 6371000     		du = 235.78246036938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68880963)-sin(-0.68884663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772003183163455-0.77197966474448)×R²
    abs(-0.79071916--0.79076710)×2.35184189744109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35184189744109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35184189744109e-05×40589641000000     		ar = 55581.1386707329m²