Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49039 / 50579
↖ ↑ ↗
← S 69.447914°
E 89.379273°		 ← 214.42 m → S 69.447914°
E 89.384766°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
S 69.449842°
E 89.379273°		 ← 214.40 m →
45 980 m²		 S 69.449842°
E 89.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748283386230469 y=0.771781921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748283386230469 × 216)
    floor (0.748283386230469 × 65536)
    floor (49039.5)     		tx = 49039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771781921386719 × 216)
    floor (0.771781921386719 × 65536)
    floor (50579.5)     		ty = 50579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49039 / 50579 ti = "16/49039/50579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49039/50579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49039 ÷ 216
    49039 ÷ 65536     		x = 0.748275756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50579 ÷ 216
    50579 ÷ 65536     		y = 0.771774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748275756835938 × 2 - 1) × π
    0.496551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55996259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771774291992188 × 2 - 1) × π
    -0.543548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70760823826564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55996259} λ = 1.55996259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70760823826564))-π/2
    2×atan(0.181298898235215)-π/2
    2×0.179350787381657-π/2
    0.358701574763315-1.57079632675     		φ = -1.21209475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55996259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.379273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21209475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.447914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49039 KachelY 50579 1.55996259 -1.21209475 89.379273 -69.447914
    Oben rechts KachelX + 1 49040 KachelY 50579 1.56005846 -1.21209475 89.384766 -69.447914
    Unten links KachelX 49039 KachelY + 1 50580 1.55996259 -1.21212841 89.379273 -69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 49040 KachelY + 1 50580 1.56005846 -1.21212841 89.384766 -69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21209475--1.21212841) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dl = 214.447859999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21209475--1.21212841) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dr = 214.447859999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55996259-1.56005846) × cos(-1.21209475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351058746513073 × 6371000     		do = 214.42238892171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55996259-1.56005846) × cos(-1.21212841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 214.403138201026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21209475)-sin(-1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351058746513073-0.35102722865756)×R²
    abs(1.56005846-1.55996259)×3.15178555127527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15178555127527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15178555127527e-05×40589641000000     		ar = 45980.3583066713m²