Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49039 / 50480
↖ ↑ ↗
← S 69.256149°
E 89.379273°		 ← 216.34 m → S 69.256149°
E 89.384766°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
S 69.258095°
E 89.379273°		 ← 216.32 m →
46 804 m²		 S 69.258095°
E 89.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748283386230469 y=0.770271301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748283386230469 × 216)
    floor (0.748283386230469 × 65536)
    floor (49039.5)     		tx = 49039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770271301269531 × 216)
    floor (0.770271301269531 × 65536)
    floor (50480.5)     		ty = 50480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49039 / 50480 ti = "16/49039/50480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49039/50480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49039 ÷ 216
    49039 ÷ 65536     		x = 0.748275756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50480 ÷ 216
    50480 ÷ 65536     		y = 0.770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748275756835938 × 2 - 1) × π
    0.496551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55996259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.54052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69811673214087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55996259} λ = 1.55996259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69811673214087))-π/2
    2×atan(0.18302789022707)-π/2
    2×0.181024247734873-π/2
    0.362048495469746-1.57079632675     		φ = -1.20874783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55996259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.379273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20874783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.256149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49039 KachelY 50480 1.55996259 -1.20874783 89.379273 -69.256149
    Oben rechts KachelX + 1 49040 KachelY 50480 1.56005846 -1.20874783 89.384766 -69.256149
    Unten links KachelX 49039 KachelY + 1 50481 1.55996259 -1.20878179 89.379273 -69.258095
    Unten rechts KachelX + 1 49040 KachelY + 1 50481 1.56005846 -1.20878179 89.384766 -69.258095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20874783--1.20878179) × R
    3.39599999998885e-05 × 6371000     		dl = 216.35915999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20874783--1.20878179) × R
    3.39599999998885e-05 × 6371000     		dr = 216.35915999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55996259-1.56005846) × cos(-1.20874783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354190674447077 × 6371000     		do = 216.335332200321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55996259-1.56005846) × cos(-1.20878179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		du = 216.315934382678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20874783)-sin(-1.20878179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354190674447077-0.354158915760023)×R²
    abs(1.56005846-1.55996259)×3.17586870532405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17586870532405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17586870532405e-05×40589641000000     		ar = 46804.0323096762m²