Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49038 / 81322
↖ ↑ ↗
← S 39.728314°
W 45.313110°		 ← 234.90 m → S 39.728314°
W 45.310364°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 39.730426°
W 45.313110°		 ← 234.89 m →
55 161 m²		 S 39.730426°
W 45.310364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374134063720703 y=0.620441436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374134063720703 × 217)
    floor (0.374134063720703 × 131072)
    floor (49038.5)     		tx = 49038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620441436767578 × 217)
    floor (0.620441436767578 × 131072)
    floor (81322.5)     		ty = 81322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49038 / 81322 ti = "17/49038/81322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49038/81322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49038 ÷ 217
    49038 ÷ 131072     		x = 0.374130249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81322 ÷ 217
    81322 ÷ 131072     		y = 0.620437622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374130249023438 × 2 - 1) × π
    -0.251739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79086297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620437622070312 × 2 - 1) × π
    -0.240875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756731897402206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79086297} λ = -0.79086297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756731897402206))-π/2
    2×atan(0.469197309052163)-π/2
    2×0.438703225768812-π/2
    0.877406451537624-1.57079632675     		φ = -0.69338988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79086297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.313110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69338988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.728314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49038 KachelY 81322 -0.79086297 -0.69338988 -45.313110 -39.728314
    Oben rechts KachelX + 1 49039 KachelY 81322 -0.79081503 -0.69338988 -45.310364 -39.728314
    Unten links KachelX 49038 KachelY + 1 81323 -0.79086297 -0.69342674 -45.313110 -39.730426
    Unten rechts KachelX + 1 49039 KachelY + 1 81323 -0.79081503 -0.69342674 -45.310364 -39.730426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69338988--0.69342674) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69338988--0.69342674) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79086297--0.79081503) × cos(-0.69338988) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.76908380316627 × 6371000     		do = 234.897989704462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79086297--0.79081503) × cos(-0.69342674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.769060243650327 × 6371000     		du = 234.890794021872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69338988)-sin(-0.69342674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76908380316627-0.769060243650327)×R²
    abs(-0.79081503--0.79086297)×2.35595159427948e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35595159427948e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35595159427948e-05×40589641000000     		ar = 55161.438613265m²