Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49038 / 50482
↖ ↑ ↗
← S 69.260040°
E 89.373779°		 ← 216.32 m → S 69.260040°
E 89.379273°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
S 69.261985°
E 89.373779°		 ← 216.30 m →
46 787 m²		 S 69.261985°
E 89.379273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748268127441406 y=0.770301818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748268127441406 × 216)
    floor (0.748268127441406 × 65536)
    floor (49038.5)     		tx = 49038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770301818847656 × 216)
    floor (0.770301818847656 × 65536)
    floor (50482.5)     		ty = 50482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49038 / 50482 ti = "16/49038/50482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49038/50482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49038 ÷ 216
    49038 ÷ 65536     		x = 0.748260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50482 ÷ 216
    50482 ÷ 65536     		y = 0.770294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748260498046875 × 2 - 1) × π
    0.49652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55986671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.54058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69830847973935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55986671} λ = 1.55986671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69830847973935))-π/2
    2×atan(0.182992798433155)-π/2
    2×0.180990293173813-π/2
    0.361980586347626-1.57079632675     		φ = -1.20881574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55986671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20881574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.260040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49038 KachelY 50482 1.55986671 -1.20881574 89.373779 -69.260040
    Oben rechts KachelX + 1 49039 KachelY 50482 1.55996259 -1.20881574 89.379273 -69.260040
    Unten links KachelX 49038 KachelY + 1 50483 1.55986671 -1.20884969 89.373779 -69.261985
    Unten rechts KachelX + 1 49039 KachelY + 1 50483 1.55996259 -1.20884969 89.379273 -69.261985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20881574--1.20884969) × R
    3.39500000001713e-05 × 6371000     		dl = 216.295450001092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20881574--1.20884969) × R
    3.39500000001713e-05 × 6371000     		dr = 216.295450001092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55986671-1.55996259) × cos(-1.20881574) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.354127166016498 × 6371000     		do = 216.319103469242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55986671-1.55996259) × cos(-1.20884969) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.354095415864804 × 6371000     		du = 216.299708842089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20881574)-sin(-1.20884969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354127166016498-0.354095415864804)×R²
    abs(1.55996259-1.55986671)×3.17501516934882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.17501516934882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.17501516934882e-05×40589641000000     		ar = 46786.7403482907m²