Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49037 / 82323
↖ ↑ ↗
← S 41.810220°
W 45.315857°		 ← 227.65 m → S 41.810220°
W 45.313110°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
S 41.812267°
W 45.315857°		 ← 227.64 m →
51 821 m²		 S 41.812267°
W 45.313110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374126434326172 y=0.628078460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374126434326172 × 217)
    floor (0.374126434326172 × 131072)
    floor (49037.5)     		tx = 49037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628078460693359 × 217)
    floor (0.628078460693359 × 131072)
    floor (82323.5)     		ty = 82323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49037 / 82323 ti = "17/49037/82323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49037/82323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49037 ÷ 217
    49037 ÷ 131072     		x = 0.374122619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82323 ÷ 217
    82323 ÷ 131072     		y = 0.628074645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374122619628906 × 2 - 1) × π
    -0.251754760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.79091091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628074645996094 × 2 - 1) × π
    -0.256149291992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.804716733921883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79091091} λ = -0.79091091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804716733921883))-π/2
    2×atan(0.447214589341674)-π/2
    2×0.420535163485089-π/2
    0.841070326970177-1.57079632675     		φ = -0.72972600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79091091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.315857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72972600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.810220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49037 KachelY 82323 -0.79091091 -0.72972600 -45.315857 -41.810220
    Oben rechts KachelX + 1 49038 KachelY 82323 -0.79086297 -0.72972600 -45.313110 -41.810220
    Unten links KachelX 49037 KachelY + 1 82324 -0.79091091 -0.72976173 -45.315857 -41.812267
    Unten rechts KachelX + 1 49038 KachelY + 1 82324 -0.79086297 -0.72976173 -45.313110 -41.812267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72972600--0.72976173) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72972600--0.72976173) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79091091--0.79086297) × cos(-0.72972600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745357096650219 × 6371000     		do = 227.651242808495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79091091--0.79086297) × cos(-0.72976173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745333276218558 × 6371000     		du = 227.643967435528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72972600)-sin(-0.72976173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745357096650219-0.745333276218558)×R²
    abs(-0.79086297--0.79091091)×2.38204316607149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38204316607149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38204316607149e-05×40589641000000     		ar = 51820.7515448929m²